कंप्यूटर के बुनियादी तार्किक संचालन। कंप्यूटर बनाने की तार्किक नींव

शिक्षक: सबितोव ए.एन. तारीख: 25.10.2016 कक्षा: 8बी विषय: तार्किक नींवकंप्यूटर कार्य लक्ष्य
शिक्षात्मक	कंप्यूटर द्वारा सूचना प्रसंस्करण के सिद्धांतों के बारे में एक विचार प्राप्त करें (वॉन न्यूमैन सिद्धांत); छात्रों को अवधारणाओं से परिचित कराना: बुनियादी तार्किक तत्व; कंप्यूटर तत्व आधार के उपकरणों के बारे में एक विचार तैयार करें; व्यवहार में लाना;
विकसित होना	तार्किक सोच का विकास; आईसीटी - दक्षताओं के विकास में योगदान देना जारी रखें: व्यावहारिक अभ्यास में अर्जित ज्ञान और कौशल को लागू करने की क्षमता
शिक्षात्मक	विषय के व्यावहारिक अनुप्रयोग को दिखाकर सूचना विज्ञान के विषय में एक स्थायी संज्ञानात्मक रुचि को बढ़ावा देना; गतिविधि, स्वतंत्रता और कार्य में सटीकता जैसे व्यक्तित्व लक्षणों को विकसित करने के लिए
शिक्षण विधियों	मौखिक, दृश्य, व्यावहारिक
पाठ प्रकार:	सबक सीखना नई सामग्री
सबक का प्रकार:	संयुक्त
अध्ययन के रूप:	ललाट, व्यक्तिगत
सॉफ्टवेयर और उपदेशात्मक समर्थन	पीसी, सैद्धांतिक सामग्री पर प्रस्तुति, पोस्टर, परीक्षण प्रकार के कार्य
अंतर्विषयक संचार	पेशे के साथ

शिक्षण योजना

संगठनात्मक चरण (मतदान, बोर्डिंग, तैयारी की जाँच)

पाठ के विषय की घोषणा।

थीम प्रेरणा। छात्रों के लिए प्रश्न

विषय "तर्क के मूल सिद्धांत" प्रासंगिक क्यों है;

बाद के विषयों के अध्ययन और भविष्य की व्यावसायिक गतिविधि के लिए इस विषय का क्या महत्व है;

पाठ उद्देश्य और पाठ योजना

पाठ के उद्देश्यों को निर्धारित करना, पाठ के रूप से परिचित होना।

ज्ञान का सक्रियण:

विचार के रूप

बुनियादी तार्किक संचालन

नई सामग्री:

कंप्यूटर संचालन के सिद्धांत;

कंप्यूटर के तार्किक तत्व।

सामग्री को ठीक करना

छात्र कंप्यूटर पर एक सीखने का कार्य पूरा करते हैं। टेस्ट प्रकार असाइनमेंट: फ़ाइल तर्क_परीक्षण. चादर संकेत।

जल्दी से कार्य पूरा करने वाले छात्रों के लिए, सिम्युलेटर कार्यक्रम "तर्क" के साथकॉन्स्टेंटिन पॉलाकोव की वेबसाइट।

पाठ को सारांशित करना, पाठ में कार्य के लिए ग्रेडिंग करना।

गृहकार्य।तार्किक संचालन दोहराएं, कंप्यूटर के तार्किक तत्वों को जानें।

कंप्यूटर सिद्धांत

सूचना की बाइनरी एन्कोडिंग;

कंप्यूटर का सॉफ्टवेयर नियंत्रण (चार्ल्स बैबेज का विचार);

वॉन न्यूमैन सिद्धांत।

कंप्यूटर संचालन के सिद्धांत (वॉन न्यूमैन सिद्धांत)

कार्यक्रम नियंत्रण का सिद्धांत. प्रोग्राम में निर्देशों का एक सेट होता है जो एक निश्चित क्रम में एक के बाद एक प्रोसेसर द्वारा स्वचालित रूप से निष्पादित किया जाता है।

स्मृति की एकरूपता का सिद्धांत।प्रोग्राम और डेटा दोनों को एक ही मेमोरी में स्टोर किया जाता है (और एक ही नंबर सिस्टम में एन्कोड किया जाता है - अक्सर बाइनरी)। आप कमांड पर डेटा के समान कार्य कर सकते हैं।

मेमोरी एड्रेसेबिलिटी का सिद्धांत. प्रोग्राम में निर्देशों का एक सेट होता है जो एक निश्चित क्रम में प्रोसेसर द्वारा एक के बाद एक निष्पादित किया जाता है।

कंप्यूटर के तार्किक तत्व

कंप्यूटर का कार्य दो अंकों - 0 और 1 के साथ एन्कोडेड संख्याओं और प्रतीकों पर संचालन और संचार लाइनों पर इस जानकारी को भेजना है। ( एक को 0 . से अधिक वोल्टेज स्तर द्वारा एन्कोड किया गया है).

कंप्यूटर में बाइनरी सिग्नल को प्रोसेस करने के साधन तार्किक तत्व हैं।

कंप्यूटर के तार्किक तत्व इलेक्ट्रॉनिक सर्किट हैं और, या, नहीं, और नहीं, या नहीं और अन्य (जिन्हें गेट भी कहा जाता है), साथ ही एक फ्लिप-फ्लॉप।
चालू कर देनाएक तार्किक सर्किट है जो 1 बिट जानकारी (1 या 0) संग्रहीत करने में सक्षम है। 2 तत्वों पर निर्मित या नहींया 2 तत्वों पर और नहीं ट्रिगर में दो स्थिर अवस्थाएँ होती हैं, जिनमें से एक से मेल खाती है द्विआधारी इकाई, और दूसरा द्विआधारी शून्य
आधा योजकएक लॉजिक सर्किट है जो दो एक-बिट बाइनरी नंबर जोड़ने में सक्षम है

1. अवधारणा, निर्णय, निष्कर्ष।

तर्क सोच की प्रक्रिया की आंतरिक संरचना का अध्ययन करता है, जिसे सोच के ऐसे स्वाभाविक रूप से गठित रूपों में महसूस किया जाता है अवधारणा, कथन और निष्कर्ष।

चिंतन हमेशा अवधारणाओं, कथनों और निष्कर्षों के माध्यम से किया जाता है।

एक अवधारणा सोच का एक रूप है जो किसी वस्तु या वस्तुओं के वर्ग की आवश्यक विशेषताओं को उजागर करती है जो उन्हें दूसरों से अलग करना संभव बनाती है।

महत्वपूर्ण लक्षण ऐसे संकेत कहलाते हैं, जिनमें से प्रत्येक को अलग-अलग लिया जाना आवश्यक है, और सभी एक साथ किसी दिए गए वस्तु को अन्य सभी से अलग करने के लिए पर्याप्त हैं और सजातीय वस्तुओं को एक सेट में जोड़कर सामान्यीकरण करने के लिए पर्याप्त हैं।

अवधारणा उदाहरण:

एकल अवधारणाएँ: यूरोप का सबसे ऊँचा पर्वत, यह तालिका, मास्को, आदि।

सामान्य अवधारणाएँ: सौंदर्य, धातु, दया, मूर्खता, जंगल, टीम, आदि।

सार अवधारणाएँ: वजन, कठोरता, रंग, ब्रह्मांड, मानवता, आदि।

विशिष्ट अवधारणाएँ: वृत्त, घर, लौ, युद्ध, आदि।

किसी भी अवधारणा की विशेषता है सामग्री और दायरा।

एक अवधारणा का दायरा वस्तुओं का समूह है जिससे अवधारणा जुड़ी हुई है।

एक बयान दुनिया के बारे में किसी की समझ का एक सूत्रीकरण है। एक उच्चारण एक घोषणात्मक वाक्य है जिसमें किसी चीज की पुष्टि या खंडन किया जाता है। एक कथन को सत्य या असत्य कहा जा सकता है। रूसी में, कथन घोषणात्मक वाक्यों द्वारा व्यक्त किए जाते हैं:

अलुपका पैलेस क्रीमिया में स्थित है।

कशची द डेथलेस कंजूस और लालची है।

रूसी में, कथन घोषणात्मक वाक्यों द्वारा व्यक्त किए जाते हैं:

गणितीय तर्क में, एक कथन जिसकी सच्चाई (सामान्य स्थिति में) उसके घटक चर के मूल्यों पर निर्भर करती है।

अनुमान सोच का एक रूप है जिसके द्वारा एक या अधिक प्रस्तावों से एक नया निर्णय लिया जा सकता है।

रीजनिंग तथ्यों, सामान्य प्रावधानों और निष्कर्षों की एक श्रृंखला है। एक निष्कर्ष उस जानकारी से एक संक्रमण है जो हमारे पास तर्क (परिसर या शर्तों) से पहले निष्कर्ष पर है। सही आधार से तर्क करने का सही तरीका हमेशा सही निष्कर्ष की ओर ले जाता है।

आगमनात्मक तर्क के उदाहरण:

क्या निष्कर्ष सही हैं?

1)
1 - विषम और अभाज्य संख्या,
3 एक विषम और अभाज्य संख्या है।
5 - विषम और अभाज्य संख्या
निष्कर्ष: सभी विषम संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ होती हैं।

2))। 1=1.1+3=4.1+3+5=9.1+3+5+7=16.1+3+5+7+9=25, आदि।

निष्कर्ष: किसी भी संख्या K का वर्ग, K की पहली विषम संख्याओं के योग के बराबर होता है।

3))। फे, सी, जेडएन। पीटी - ठोस
निष्कर्ष: सभी धातुएँ ठोस होती हैं।

4) अर्जेंटीना, इक्वाडोर, वेनेजुएला में वे स्पेनिश बोलते हैं।
निष्कर्ष: सभी लैटिन अमेरिकी देश हिस्पैनिक हैं

2. तर्क का बीजगणित

- रिकॉर्ड करने, मूल्यों की गणना करने, बयानों को सरल बनाने और बदलने के नियमों को परिभाषित करता है।

तर्क के बीजगणित में, प्रस्तावों को अक्षरों द्वारा निरूपित किया जाता है और कहा जाता है बूलियन चर.

यदि कथन सत्य है, तो संगत तार्किक चर का मान एक ( लेकिन = 1 ), और यदि असत्य - शून्य ( पर = 0 ).

0 और 1 बुलाया बूलियन मान.

कथन सरल और जटिल हैं।

कथन कहा जाता है सरलयदि इसका कोई भाग स्वयं एक प्रस्ताव नहीं है।

जटिल (यौगिक) कथन तार्किक संक्रियाओं की सहायता से सरल कथनों से निर्मित होते हैं।

तार्किक संचालन।

एक संयोजन एक तार्किक ऑपरेशन है जो प्रत्येक दो कथनों को एक नए कथन के साथ जोड़ता है, जो है सचअगर और केवल अगर दोनों मूल कथन सत्य हैं.

अन्य नाम: तार्किक गुणन .

डिसजंक्शन एक लॉजिकल ऑपरेशन है जो प्रत्येक दो स्टेटमेंट को एक नए स्टेटमेंट के साथ जोड़ता है, जो है झूठाअगर और केवल अगर दोनों मूल कथन असत्य हैं.

अन्य नाम: तार्किक जोड़.

प्रतीक: वी, |, या, +।

उलटा एक तार्किक ऑपरेशन है जो प्रत्येक कथन को एक नया कथन प्रदान करता है, जिसका अर्थ मूल के विपरीत होता है।

अन्य नाम: तार्किक निषेध।

पदनाम: नहीं, , .

एक निहितार्थ एक तार्किक ऑपरेशन है जो हर दो सरल कथनों को एक यौगिक कथन के साथ जोड़ता है जो है झूठाअगर और केवल अगर शर्त (पहला कथन) सत्य है, और परिणाम (दूसरा वाक्य) झूठा.

प्राकृतिक भाषा में, "अगर ए, तो बी";

पद –

तार्किक तुल्यता (समतुल्यता) एक तार्किक संक्रिया है जो प्रत्येक दो कथनों को एक यौगिक कथन के साथ मिलाती है जो है सचअगर और केवल अगर दोनों मूल कथन सत्य हैं या दोनों असत्य।

प्राकृतिक भाषा में - "तब और केवल तभी और उसमें और केवल उस मामले में";

पदनाम -

तार्किक संचालन में निम्नलिखित प्राथमिकता है:

उलटा, संयोजन, वियोग, निहितार्थ, तुल्यता

दसवीं में 50 छात्र हैं। गणित में संकाय में 36 लोग शामिल हैं, भौतिकी में - 20 लोग, 10 छात्र दोनों ऐच्छिक में नामांकित हैं।

कितने छात्र ऐच्छिक में शामिल नहीं होते हैं?

36 - 10 = 26 - गणित में भाग लेने वाले और भौतिकी में भाग न लेने वाले छात्रों की संख्या।

20 + 26 = 46 - गणित या भौतिकी में भाग लेने वाले छात्रों की संख्या।

50 - 46 = 4 - किसी भी ऐच्छिक में भाग नहीं लेने वाले छात्रों की संख्या।

3. जटिल कथनों के लिए सत्य तालिकाओं का निर्माण।

तार्किक संचालन के गुण।

संदर्भ सामग्री:

तार्किक अभिव्यक्तियों को सरल बनाकर तार्किक समस्याओं को हल करना।

ट्रैक एंड फील्ड प्रतियोगिताओं में एंड्री, बोरिया, शेरोज़ा और वोलोडा ने पहले चार स्थान हासिल किए। लेकिन जब लड़कियों को यह याद आने लगा कि विजेताओं के बीच इन स्थानों का वितरण कैसे किया जाता है, तो राय अलग हो गई:

दशा: एंड्री पहले थे, और वोलोडा दूसरे थे।

गैल्या: एंड्री दूसरे और बोरिस तीसरे स्थान पर थे।

लीना: बोरिया चौथे और सेरेझा दूसरे स्थान पर रहीं।

यह ज्ञात है कि प्रत्येक लड़की एक कथन में गलत थी, और दूसरे में सही थी। लड़कों में से कौन सा स्थान प्राप्त किया?

आइए हम संकेतन का परिचय दें:

4. कंप्यूटर के बुनियादी तार्किक तत्व

एक असतत कनवर्टर, जो इनपुट बाइनरी सिग्नल को संसाधित करने के बाद, आउटपुट पर एक सिग्नल आउटपुट करता है, जो कि लॉजिकल ऑपरेशंस में से एक का मान है, कहलाता है तार्किक तत्व।

बुनियादी तार्किक तत्व तीन बुनियादी तार्किक संचालन को लागू करते हैं:

• तार्किक तत्व "और" (संयोजक) - तार्किक गुणन;
• तार्किक तत्व "OR" (विघटनकर्ता)
- तार्किक जोड़;
• तर्क तत्व "नहीं" (इन्वर्टर)
- तार्किक निषेध।

किसी भी तार्किक संचालन को तीन बुनियादी लोगों के संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसलिए कोई भी कंप्यूटर उपकरण जो जानकारी को संसाधित और संग्रहीत करता है, उसे बुनियादी तार्किक तत्वों से इकट्ठा किया जा सकता है।

कंप्यूटर के तार्किक तत्व विद्युत आवेगों के संकेतों के साथ काम करते हैं।

एक आवेग है - संकेत का तार्किक मूल्य 1, कोई गति नहीं- अर्थ 0.

इलेक्ट्रॉनिक सर्किट का विश्लेषण।

इनपुट पर सिग्नल के प्रत्येक संभावित सेट के लिए आउटपुट पर कौन सा सिग्नल होना चाहिए?

फेसला। इनपुट ए और बी पर संकेतों के सभी संभावित संयोजनों को सत्य तालिका में दर्ज किया जाएगा। आइए संकेतों की प्रत्येक जोड़ी के परिवर्तन का पता लगाएं क्योंकि वे तार्किक तत्वों से गुजरते हैं और परिणाम को एक तालिका में लिखते हैं।

पूर्ण सत्य तालिका पूरी तरह से माना इलेक्ट्रॉनिक सर्किट का वर्णन करती है।

इन्वर्टर इनपुट बी से सिग्नल प्राप्त करता है। कंजंक्टर इनपुट ए और इन्वर्टर से सिग्नल प्राप्त करता है। तो एफ = ए और ¬ बी

आधा योजक और योजक।

प्रोसेसर (एएलयू) की अंकगणितीय तर्क इकाई इसकी संरचना में शामिल है
योजक जैसे तत्व। वे आपको बाइनरी नंबर जोड़ने की अनुमति देते हैं।
एक अंक के भीतर जोड़ (संभावित आवक को ध्यान में रखे बिना
कम से कम महत्वपूर्ण बिट से इकाइयाँ) नामक सर्किट द्वारा कार्यान्वित किया जा सकता है
आधा योजक। अर्ध-योजक में दो इनपुट (शर्तों के लिए) और दो आउटपुट होते हैं
(योग और ले जाने के लिए)।

आधे योजक के विपरीत, योजक पिछले के कैरीओवर को ध्यान में रखता है
डिस्चार्ज, इसलिए, इसमें दो नहीं, बल्कि तीन इनपुट हैं।

(ट्रिगर लैच, ट्रिगर) एक ऐसा उपकरण है जो आपको जानकारी को याद रखने, संग्रहीत करने और पढ़ने की अनुमति देता है।

प्रत्येक ट्रिगर 1 बिट जानकारी संग्रहीत करता है, इसलिए यह दो स्थिर अवस्थाओं में से एक में हो सकती है - तार्किक "0" या तार्किक "1"।

ट्रिगर लगभग तुरंत एक विद्युत राज्य से दूसरे में स्विच करने में सक्षम है और इसके विपरीत

ट्रिगर तर्क इस तरह दिखता है:

ट्रिगर इनपुट को निम्नानुसार डीकोड किया जाता है - एस (अंग्रेजी सेट - इंस्टॉलेशन से) और आर (रीसेट - रीसेट)। उनका उपयोग ट्रिगर को एक स्थिति में सेट करने और इसे शून्य पर रीसेट करने के लिए किया जाता है। इस संबंध में, ऐसे फ्लिप-फ्लॉप को आरएस फ्लिप-फ्लॉप कहा जाता है।

आउटपुट क्यू को प्रत्यक्ष कहा जाता है, और विपरीत को उलटा कहा जाता है। प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम आउटपुट पर संकेत, निश्चित रूप से विपरीत होना चाहिए।

चलो, निश्चितता के लिए, इनपुट एस, और आर = 0 पर एक सिग्नल लागू होता है। फिर, आउटपुट Q से जुड़े अन्य इनपुट की स्थिति की परवाह किए बिना (दूसरे शब्दों में, ट्रिगर की पिछली स्थिति की परवाह किए बिना), सर्किट में शीर्ष OR-NOT तत्व आउटपुट पर 0 प्राप्त करेगा (OR परिणाम 1 है, लेकिन इसका प्रतिलोम 0 है)। यह शून्य संकेत दूसरे तार्किक तत्व के इनपुट को प्रेषित किया जाता है, जहां दूसरा इनपुट आर भी 0 पर सेट होता है। परिणामस्वरूप, दो इनपुट शून्य पर तार्किक OR-NOT संचालन करने के बाद, यह तत्व आउटपुट पर 1 प्राप्त करता है, जो इसे संबंधित इनपुट पर पहले तत्व पर लौटता है। अंतिम परिस्थिति बहुत महत्वपूर्ण है: अब जब यह इनपुट 1 पर सेट हो गया है, तो अन्य इनपुट (एस) की स्थिति अब कोई भूमिका नहीं निभाती है। दूसरे शब्दों में, भले ही इनपुट सिग्नल एस को अभी हटा दिया गया हो, स्तरों का आंतरिक वितरण अपरिवर्तित रहेगा।

क्यू = 1 के बाद से, फ्लिप-फ्लॉप एक ही स्थिति में स्विच हो गया है, और जब तक नए बाहरी सिग्नल नहीं आते, तब तक यह इसे रखता है। इसलिए, जब इनपुट S पर एक सिग्नल लगाया जाता है, तो फ्लिप-फ्लॉप एक स्थिर एकल अवस्था में चला जाता है।

संकेतों के विपरीत संयोजन के साथ आर \u003d 1 और एस \u003d 0, सर्किट की पूर्ण समरूपता के कारण, सब कुछ ठीक उसी तरह से होता है, लेकिन अब आउटपुट क्यू पहले से ही 0 है। दूसरे शब्दों में, जब एक सिग्नल होता है आर-फ्लिप-फ्लॉप पर लागू होने पर, इसे स्थिर शून्य स्थिति में रीसेट कर दिया जाता है।

इस प्रकार, दोनों मामलों में सिग्नल का अंत इस तथ्य की ओर जाता है कि आर = 0 और एस = 0।

"क्या परिणामी पूर्णांक भागफल 2 से कम है?"

द्विआधारी जोड़ करते समय, निम्नलिखित नियम का पालन करना आवश्यक है: "संख्याओं को अंकों द्वारा अभिव्यक्त किया जाता है, और यदि कोई अतिरिक्त होता है, तो इकाई को बाईं ओर उच्चतम अंक में स्थानांतरित कर दिया जाता है", अर्थात। लगातार विश्लेषण करने की जरूरत है:

"क्या कोई अधिक आपूर्ति है?" "ज़रुरी नहीं"

तर्क का बीजगणित

तर्क का बीजगणित 19वीं शताब्दी के मध्य में प्रकट हुआ। अंग्रेजी गणितज्ञ जॉर्ज बूले के लेखन में। उन्होंने पारंपरिक तार्किक समस्याओं को बीजगणितीय विधियों से हल करने का प्रयास किया।

तार्किक कथन- यह कोई भी घोषणात्मक वाक्य है जिसे स्पष्ट रूप से सही या गलत कहा जा सकता है।उदाहरण के लिए, वाक्य "6 एक सम संख्या है" को एक प्रस्ताव माना जाना चाहिए, क्योंकि यह सत्य है; वाक्य "रोम फ्रांस की राजधानी है" भी एक कथन है, क्योंकि यह गलत है।

बेशक, हर वाक्य एक तार्किक प्रस्ताव नहीं है।

उदाहरण के लिए, वाक्य: "समूह 204 का छात्र", "हैलो!", "कॉलेज में 1000 से अधिक छात्र हैं", "अच्छे छात्र" कथन नहीं हैं, क्योंकि उनकी सच्चाई या झूठ का न्याय करना असंभव है (या वाक्य को एक बयान बनाने के लिए अतिरिक्त जानकारी की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए: "पेट्रोव एक अच्छा छात्र है" या "समेरा में कॉलेज नंबर 15 में 1000 से अधिक छात्र हैं")।

तर्क का बीजगणित किसी भी कथन को केवल एक ही दृष्टिकोण से मानता है - चाहे वह सत्य हो या असत्य।

ध्यान दें कि किसी कथन की सच्चाई को स्थापित करना अक्सर कठिन होता है। उदाहरण के लिए, एक स्थिति में "हिंद महासागर का सतह क्षेत्र 75 मिलियन किमी 2" कथन को गलत माना जा सकता है, और दूसरे में - सत्य (गलत - चूंकि संकेतित मान गलत है और बिल्कुल भी स्थिर नहीं है; सत्य - अगर हम इसे कुछ अनुमान के रूप में मानते हैं, अभ्यास पर स्वीकार्य)।

सामान्य भाषण में प्रयुक्त शब्द और वाक्यांश "नहीं", "और", "या", "यदि, तब", "यदि और केवल तब" और अन्य हमें पहले से दिए गए बयानों से नए बयान बनाने की अनुमति देते हैं। ऐसे शब्दों और वाक्यांशों को कहा जाता है तार्किक कनेक्शन।

तार्किक संयोजकों की सहायता से अन्य कथनों से बनने वाले कथन कहलाते हैं मिश्रित।वे कथन जो यौगिक नहीं हैं कहलाते हैं प्राथमिक।उदाहरण के लिए, प्रारंभिक कथनों से "इवानोव एक छात्र है", "इवानोव एक उत्कृष्ट छात्र है" एक गुच्छा की मदद से और आप एक यौगिक कथन प्राप्त कर सकते हैं "इवानोव एक छात्र और एक उत्कृष्ट छात्र है"।

तार्किक प्रस्तावों को संदर्भित करने के लिए, उन्हें नाम दिए गए हैं। मान लीजिए A कथन "इवान गर्मियों में समुद्र में जाएगा" और B "इवान गर्मियों में पहाड़ों पर जाएगा" कथन को निरूपित करता है। फिर यौगिक कथन "इवान गर्मियों में समुद्र और पहाड़ों दोनों का दौरा करेगा" को संक्षेप में लिखा जा सकता है: "ए और बी"। यहाँ AND एक तार्किक संयोजक है; ए, बी तार्किक चर हैं जो केवल दो मान ले सकते हैं: "सत्य" और "झूठा", क्रमशः 1 और 0 द्वारा दर्शाया गया।

बीजगणित में, कथनों को तार्किक चरों के नामों से दर्शाया जाता है, जो केवल दो मान ले सकते हैं: "सत्य" (1) और "झूठा" (0)।

तार्किक कथनों के साथ किए जा सकने वाले कार्यों पर विचार करें।

निषेध संचालन। NOT शब्द द्वारा व्यक्त की गई क्रिया को निषेध या उलटा कहा जाता है, और इसे कथन के ऊपर एक बार द्वारा दर्शाया जाता है। ए सच है जब ए झूठा है, और झूठा है जब ए सच है। उदाहरण के लिए: "चंद्रमा पृथ्वी का उपग्रह है" (ए); "चंद्रमा पृथ्वी का उपग्रह नहीं है" (ए)।

मान लीजिए A \u003d "दो गुणा दो बराबर चार" एक सत्य कथन है, तो तार्किक निषेध संक्रिया का उपयोग करके बनाया गया कथन - "दो गुणा दो चार के बराबर नहीं है" एक गलत कथन है।

हम कथन F बनाते हैं, जो A का तार्किक निषेध है:

इस तरह के एक बयान की सच्चाई तार्किक निषेध समारोह (तालिका 2.6) की सत्य तालिका द्वारा दी गई है।

तालिका 2.6 तार्किक निषेध फलन की सत्य तालिका

लेकिन	एफ

संयोजन संचालन।

संयोजी और द्वारा व्यक्त की गई कार्रवाई को एक कनेक्शन, या संयोजन, या तार्किक गुणन कहा जाता है, और इसे "&" चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है (इसे "l" या "" चिह्न द्वारा इंगित किया जा सकता है)। कथन F = A&B तभी सत्य है जब कथन A और B दोनों सत्य हों। उदाहरण के लिए, कथन "10 2 से विभाज्य है और 5 3 से बड़ा है" सत्य है, और कथन "10 2 से विभाज्य है और 5 3 से बड़ा नहीं है", "10 2 से विभाज्य नहीं है और 5 बड़ा है 3 से", "10 2 से विभाज्य नहीं है और 5 3 से बड़ा नहीं है" गलत हैं।

तार्किक फ़ंक्शन F का मान इस फ़ंक्शन की सत्य तालिका का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है, जो दर्शाता है कि तार्किक फ़ंक्शन अपने तर्कों के सभी संभावित सेटों के लिए क्या मान लेता है (तालिका 2.7)।

तालिका 2.7

ट्रुथ टेबल कार्योंतार्किक गुणन

लेकिन	पर	एफ

उदाहरण के लिए, यौगिक कथन "2 2 = 4 और 3 * 3 = 10" पर विचार करें। पहला सरल प्रस्ताव सत्य है (ए = 1) और दूसरा प्रस्ताव झूठा है (बी = 0)। तालिका के अनुसार 2.7 हम निर्धारित करते हैं कि तार्किक कार्य "गलत" (F = 0) मान लेता है, अर्थात। यह यौगिक कथन असत्य है।

विच्छेदन संचालन। OR कनेक्टिव द्वारा व्यक्त किए गए ऑपरेशन को डिवीज़न, या डिसजंक्शन (से .) कहा जाता है अव्य. disjunctio - विभाजन), या तार्किक जोड़, और संकेत "v" (या "+") द्वारा दर्शाया गया है। कथन F = A v B असत्य है यदि और केवल यदि कथन A और B दोनों असत्य हैं। उदाहरण के लिए, कथन "10 2 से विभाज्य नहीं है या 5 3 से बड़ा नहीं है" गलत है, लेकिन कथन "10 2 से विभाज्य है या 5 3 से बड़ा है", "10 2 से विभाज्य है या 5 नहीं है 3 से बड़ा", "10 2 से विभाज्य नहीं है या 3 से 5 बड़ा" सत्य हैं।

फ़ंक्शन F को एक सत्य तालिका का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है, जो दर्शाता है कि तार्किक फ़ंक्शन अपने तर्कों के सभी संभावित सेटों के लिए क्या मान लेता है (तालिका 2.8)।

तालिका 2.8

तार्किक जोड़ फ़ंक्शन की सत्य तालिका

लेकिन	में	एफ

निहितार्थ संचालन।निम्नलिखित संक्रिया, जो "अगर..., फिर", "से... अनुसरण करती है", "... शामिल है..." द्वारा व्यक्त की जाती है, को एक निहितार्थ कहा जाता है और इसे "->" चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है। प्रस्ताव ए -> बी गलत है और केवल अगर ए सच है और बी झूठा है।

निहितार्थ दो प्राथमिक प्रस्तावों को कैसे जोड़ता है? हम इसे निम्नलिखित कथनों के उदाहरण से दिखाएंगे: "यह चतुर्भुज एक वर्ग है" (ए) और "इस चतुर्भुज के चारों ओर एक सर्कल लगाया जा सकता है" (बी)। यौगिक कथन F = A-»B पर विचार करें, जिसे इस प्रकार समझा जाता है: “यदि दिया गया चतुर्भुज एक वर्ग है; तब उसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।

तीन मामले हैं जब प्रस्ताव A-*B सत्य है:

1) A सत्य है और B सत्य है, अर्थात। दिया गया चतुर्भुज एक वर्ग है और इसके चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है;

2) ए झूठा है और बी सच है, यानी दिया गया चतुर्भुज एक वर्ग नहीं है, लेकिन इसके चारों ओर एक सर्कल लगाया जा सकता है (बेशक, यह किसी भी चतुर्भुज के लिए सच नहीं है);

3) A असत्य है और B असत्य है, अर्थात दिया गया चतुर्भुज एक वर्ग नहीं है और इसके चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध नहीं किया जा सकता है।

केवल एक विकल्प असत्य है: A सत्य है और B असत्य है, अर्थात। दिया गया चतुर्भुज एक वर्ग है, लेकिन इसके चारों ओर एक वृत्त नहीं बनाया जा सकता है।

फलन F को ट्रुथ टेबल (तालिका 2.9) का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है: F = A^B

तालिका 2.9

तार्किक निहितार्थ समारोह की सत्य तालिका

लेकिन	में	एफ

तार्किक निम्नलिखित का संचालन "चाहिए" शब्द की सामान्य समझ से कुछ अलग है। यदि पहला प्रस्ताव (आधार) असत्य है, तो दूसरे प्रस्ताव (निष्कर्ष) की सच्चाई या असत्य की परवाह किए बिना, यौगिक प्रस्ताव सत्य है। झूठे आधार से कुछ भी हो सकता है।

प्रस्तावित बीजगणित में, सभी तार्किक कार्यों को तार्किक परिवर्तनों द्वारा तीन बुनियादी लोगों तक कम किया जा सकता है: तार्किक गुणन, तार्किक जोड़ और तार्किक निषेध।

आइए सत्य तालिकाओं की तुलना करके साबित करें कि निहितार्थ ए-> बी का संचालन तार्किक अभिव्यक्ति ए वी बी (तालिका 2.10) के बराबर है।

तालिका 2.10

तार्किक अभिव्यक्ति की सत्य तालिका ए वी बी

लेकिन	में	लेकिन	एवीबी
			मैं

टैब। 2.10 पूरी तरह से तालिका के साथ मेल खाता है। 2.9.

तुल्यता संचालन।"यदि और केवल तब", "आवश्यक और पर्याप्त", "... के बराबर है ..." द्वारा व्यक्त समानता के संचालन को तुल्यता, या दोहरा निहितार्थ कहा जाता है, और संकेतों द्वारा दर्शाया जाता है "<-»» или «~». Высказывание А <->B सत्य है यदि और केवल तभी जब A और B के मान समान हों। उदाहरण के लिए, कथन सत्य हैं: "24, 6 से विभाज्य है यदि और केवल यदि 24, 3 से विभाज्य है", "23, 6 से विभाज्य है यदि औरकेवल जब 23 3 से विभाज्य है" - और कथन गलत हैं: "24, 6 से विभाज्य है यदि और केवल यदि 24 5 से विभाज्य है", "21 6 से विभाज्य है यदि और केवल यदि 21 3 से विभाज्य है"।

कथन A और B एक यौगिक कथन बनाते हैं F = A<-»В, могут быть совершенно не связаны по содержанию.

यौगिक कथन F = A<->B की एक सत्य सारणी है (सारणी 2.11)।

तालिका 2.11

टेबल एक यौगिक कथन की सच्चाईलेकिन<->पर

लेकिन	में	एफ

तार्किक तुल्यता संक्रिया द्वारा निर्मित एक यौगिक कथन सत्य है यदि और केवल यदि दोनों कथन एक ही समय में असत्य या सत्य हैं।

निम्नलिखित तार्किक कार्यों के संदर्भ में समानता व्यक्त की जा सकती है:

एफ = एओबी = (एवीबी) और (बीवीए)।

तार्किक संचालन के निष्पादन का क्रम कोष्ठक द्वारा दिया गया है। लेकिन कोष्ठकों की संख्या को कम करने के लिए, हम इस बात पर विचार करने के लिए सहमत हुए कि पहले निषेध संचालन (NOT) किया जाता है, फिर संयोजन (AND), फिर वियोजन (OR) औरअंतिम लेकिन कम से कम नहीं, निहितार्थ। इस क्रम को संचालन की प्राथमिकता कहा जाता है।

2.2.2. तर्क के बीजगणित के मूल नियम

तर्क के बीजगणित में, ऐसे कई नियम हैं जो तार्किक व्यंजकों के समतुल्य परिवर्तन की अनुमति देते हैं।

1. दोहरे निषेध का नियम:

दोहरा निषेध निषेध को बाहर करता है।

2. कम्यूटेटिव (कम्यूटेटिव) कानून:

तार्किक जोड़ के लिए

ए वी बी = बी वी ए;

तार्किक गुणन के लिए

कथनों पर संक्रिया का परिणाम इस पर निर्भर नहीं करता है कि क्या मेंइन बयानों को किस क्रम में लिया गया है। साधारण बीजगणित में, a + b = b + a; a-b = b-a।

3. साहचर्य (सहयोगी) कानून:

तार्किक जोड़ के लिए

(ए वी बी) वी सी = ए वी (बी वी सी);

तार्किक गुणन के लिए

(ए एंड बी) और सी = ए और (बी एंड सी)।

समान संकेतों के साथ, कोष्ठक को मनमाने ढंग से या छोड़ा जा सकता है।

साधारण बीजगणित में (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c;

(ए बी) ■ सी = ए (बी सी) = ए बी सी।

4. वितरण (वितरण) कानून:

तार्किक जोड़ के लिए

(ए वी बी) और सी = (ए और सी) वी (बी एंड सी);

तार्किक गुणन के लिए
(ए एंड बी) वी सी = (ए वी सी) और (बी वी सी)।

यह कानून एक सामान्य कथन को ब्रैकेट करने के नियम को परिभाषित करता है।

साधारण बीजगणित में, वितरण नियम केवल जोड़ के लिए मान्य है: (a + b) c = a c + b c।

5. सामान्य व्युत्क्रम का नियम (डी मॉर्गन के नियम):

तार्किक जोड़ के लिए

तार्किक गुणन के लिए

6. निष्क्रियता का नियम (से अव्य. idem - वही + गुण - मजबूत (शाब्दिक - समतुल्य)):

तार्किक जोड़ के लिए

तार्किक गुणन के लिए

कानून का मतलब कोई प्रतिपादक नहीं है।

7. स्थिरांक के अपवर्जन का नियम:

तार्किक जोड़ के लिए

अवल = एल; एवो = ए;

तार्किक गुणन के लिए

ए&1 = ए; ए&0 = 0.

8. विरोधाभास का नियम:

एक ही समय में परस्पर विरोधी कथनों का सत्य होना असंभव है।

9. तीसरे के बहिष्करण का कानून:

एक ही विषय के बारे में दो परस्पर विरोधी कथनों में से एक हमेशा सत्य होता है और दूसरा असत्य; कोई तीसरा नहीं है।

10. अवशोषण का नियम:

तार्किक जोड़ के लिए:

तार्किक गुणन के लिए

ए और (ए वी बी) = ए।

11. बहिष्करण का नियम (चिपकना):

तार्किक जोड़ के लिए

(ए एंड बी) वी (ए एंड बी) = बी;

तार्किक गुणन के लिए

(एवीबी) और (एवीबी) = बी।

12. अंतर्विरोध का नियम (उलट नियम):

(ए ** बी)= (बीवीए)।

उपरोक्त कानूनों की वैधता को सारणीबद्ध तरीके से साबित किया जा सकता है: ए और बी के सभी सेटों को लिखें, उन पर सिद्ध किए जा रहे अभिव्यक्ति के बाएं और दाएं हिस्सों के मूल्यों की गणना करें, और सुनिश्चित करें कि परिणामी कॉलम में मान मेल खाते हैं।

उदाहरण 1 X ज्ञात करें यदि XvAvXvA=B.

समानता के बाईं ओर को बदलने के लिए, हम तार्किक जोड़ और दोहरे निषेध के नियम के लिए मॉर्गन के नियम का क्रमिक रूप से उपयोग करते हैं:

(एक्स एंड ए) वी (एक्स एंड ए)।

तार्किक जोड़ के लिए वितरण कानून के अनुसार

मध्य के अपवर्जन के नियम और स्थिरांक के अपवर्जन के नियम के अनुसार

एक्स&1 = एक्स।परिणामी बाईं ओर को दाईं ओर से समान करें:

अंत में हमें मिलता है: एक्स = पर।

उदाहरण 2बूलियन एक्सप्रेशन को सरल बनाएं (AvBvC)&

&A v B v C. मूल और परिणामी तार्किक अभिव्यक्तियों के लिए सत्य तालिकाओं का उपयोग करके सरलीकरण की शुद्धता की पुष्टि करें।

तार्किक जोड़ के लिए सामान्य उलटा कानून (डी मॉर्गन का पहला कानून) और दोहरे निषेध के कानून के अनुसार

(ए वी बी वी सी) और ए वी बी वी सी = (ए वी बी वी सी) और (ए और बी और सी)।

तार्किक जोड़ के लिए वितरण (वितरण) कानून के अनुसार

(ए वी बी वी सी) और (ए एंड बी एंड सी) = (ए एंड ए) वी (बी एंड ए) वी (सी एंड ए) वी (ए एंड बी) वी वी (बी एंड बी) वी (सी एंड बी) वी (ए एंड सी) वी (बी एंड सी) वी (सी एंड सी)।

विरोधाभास के कानून के अनुसार"

(ए एंड ए) = 0; (सी एंड सी) = 0।

गतिहीनता के नियम के अनुसार

हम मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं और, कम्यूटेटिव (कम्यूटेटिव) कानून का उपयोग करते हुए और शर्तों को समूहीकृत करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

ओ वी (ए एंड बी) वी (ए एंड बी) वी बी वी (सी एंड बी) वी (सी एंड बी) वी (सी एंड ए) वी (ए एंड सी) वी 0।

बहिष्करण के कानून के अनुसार (चिपके हुए)

(ए एंड बी) वी (ए एंड बी) = बी; (सी एंड बी) वी (सी एंड बी) = बी।

ओवबीवीबीवीबीवी (सी एंड ए) वी (ए एंड सी) वी 0।

तार्किक जोड़ के लिए स्थिरांक के अपवर्जन के नियम और निष्क्रियता के नियम के अनुसार

मूल्यों को प्रतिस्थापित करें और प्राप्त करें:

तार्किक गुणन के लिए वितरण (वितरण) कानून के अनुसार

(सी एंड ए) वी (ए एंड सी) = (सी वी ए) और (सी वी सी) और (ए वी ए) और (ए वी सी)। तीसरे के बहिष्करण के कानून के अनुसार

(सीवीसी) = एल; (एवीए) = एल। मूल्यों को प्रतिस्थापित करें और अंत में प्राप्त करें:

तार्किक समस्याओं का समाधान अमूर्त सोच के विकास में योगदान देता है, स्मृति को प्रशिक्षित करता है और तर्क विकसित करता है।

2.2.3. कंप्यूटर डिवाइस की तार्किक नींव

कंप्यूटर हार्डवेयर कैसे कार्य करता है, इसका वर्णन करने के लिए तर्क के बीजगणित का गणितीय उपकरण बहुत सुविधाजनक है, क्योंकि कंप्यूटर में मुख्य संख्या प्रणाली द्विआधारी है, जो संख्या 1 और 0 का उपयोग करती है, और तार्किक चर के दो मान भी हैं: 1 (सच) और 0 (झूठा)।

इससे दो निष्कर्ष निकलते हैं:

बाइनरी नंबर सिस्टम और लॉजिकल वेरिएबल्स में प्रस्तुत संख्यात्मक जानकारी दोनों को संसाधित और संग्रहीत करने के लिए समान कंप्यूटर उपकरणों का उपयोग किया जा सकता है।

हार्डवेयर डिजाइन करने के चरण में, तर्क बीजगणित कंप्यूटर सर्किट के संचालन का वर्णन करने वाले तार्किक कार्यों को काफी सरल बनाना संभव बनाता है, और इसके परिणामस्वरूप, प्राथमिक तार्किक तत्वों की संख्या को कम करता है, जिनमें से कंप्यूटर के हजारों मुख्य घटक होते हैं। बना रहे हैं।

एक कंप्यूटर लॉजिक एलिमेंट इलेक्ट्रॉनिक लॉजिक सर्किट का एक टुकड़ा है जो एक प्राथमिक लॉजिक फ़ंक्शन को लागू करता है।

कंप्यूटर के तार्किक तत्व इलेक्ट्रॉनिक सर्किट AND, OR, NOT, AND-NOT, OR-NOT, आदि (जिन्हें गेट भी कहा जाता है), साथ ही एक ट्रिगर भी हैं। इन योजनाओं का उपयोग करके, आप किसी भी तार्किक कार्य को लागू कर सकते हैं जो कंप्यूटर उपकरणों के संचालन का वर्णन करता है। आमतौर पर, वाल्व में दो से आठ इनपुट और एक या दो आउटपुट होते हैं। फाटकों में दो तार्किक अवस्थाओं 1 और 0 का प्रतिनिधित्व करने के लिए, उनके संबंधित इनपुट और आउटपुट संकेतों में दो सेट वोल्टेज स्तरों में से एक होता है। उदाहरण के लिए: 5 और ओ वी।

एक उच्च स्तर आमतौर पर एक सच्चे मूल्य (1) से मेल खाता है और निम्न स्तर एक झूठे मूल्य (0) से मेल खाता है।

प्रत्येक तार्किक तत्व का अपना प्रतीक होता है, जो इसके तार्किक कार्य को व्यक्त करता है, लेकिन यह नहीं दर्शाता है कि इसमें कौन सा इलेक्ट्रॉनिक सर्किट लागू किया गया है। इससे जटिल लॉजिक सर्किट को लिखना और समझना आसान हो जाता है।

तर्क तत्वों के संचालन को सत्य सारणी (कार्यों की सत्य सारणी के समान) का उपयोग करके वर्णित किया गया है।

कंप्यूटर के तार्किक तत्वों के संरचनात्मक आरेखों और उनकी सत्य सारणी (तालिका 2.12) पर विचार करें।

AND सर्किट दो या दो से अधिक बूलियन मानों के संयोजन को लागू करता है। AND सर्किट का आउटपुट 1 होगा यदि और केवल यदि सभी इनपुट 1 हैं। जब कम से कम एक इनपुट 0 है, तो आउटपुट भी 0 होगा;

OR सर्किट दो या दो से अधिक तार्किक मानों के संयोजन को लागू करता है। जब सर्किट के आउटपुट में से कम से कम एक या 1 हो, तो इसका आउटपुट भी 1 होगा;

NOT सर्किट (इन्वर्टर) नेगेशन ऑपरेशन को लागू करता है। इस सर्किट के इनपुट x और आउटपुट z के बीच के संबंध को z = x के रूप में लिखा जा सकता है। यदि सर्किट इनपुट 0 है, तो आउटपुट 1 है। जब इनपुट 1 है, तो आउटपुट 0 है;

NAND सर्किट में एक AND तत्व और एक इन्वर्टर होता है और AND सर्किट के परिणाम को नकारता है। आउटपुट z और सर्किट के आउटपुट x और y के बीच संबंध निम्नानुसार लिखा जाता है: z = x & y;

तालिका 2.12

कंप्यूटर तर्क तत्वों के संरचनात्मक आरेख और उनकी सत्य तालिका

प्रतीक	संरचनात्मक योजना	ट्रुथ टेबल
और
एक्स वाई				एक्स	पर	x&y
&	एक्स एंड वाई
या
				एक्स	पर	xvy
X_Y		XvY
नहीं
एक्स_		() एक्स		एक्स	एक्स
और नहीं
				एक्स	पर	x&y
एक्स वाई	& <
एक्स एंड वाई
या नहीं
				एक्स	पर	xvy
एक्स वाई	1 (
XvY

NOR सर्किट में एक OR तत्व और एक इन्वर्टर होता है, और oC OR सर्किट के परिणाम को नकारता है। आउटपुट z और सर्किट के इनपुट x और y के बीच का कनेक्शन इस प्रकार लिखा गया है: z = xVy।

चालू कर देना

कंप्यूटर रैम की सबसे महत्वपूर्ण संरचनात्मक इकाई, साथ ही आंतरिक प्रोसेसर रजिस्टर, एक फ्लिप-फ्लॉप है। यह उपकरण आपको जानकारी को याद रखने, संग्रहीत करने और पढ़ने की अनुमति देता है (प्रत्येक ट्रिगर 1 बिट जानकारी संग्रहीत कर सकता है)।

एक ट्रिगर दो तार्किक OR तत्वों और दो NOT तत्वों से बनाया जा सकता है (चित्र 2.3, ए)।वे सत्य तालिका के अनुरूप हैं (सारणी 2.13)।

ट्रिगर का सबसे आम प्रकार आरएस फ्लिप-फ्लॉप है (से अंग्रेज़ीसेट - इंस्टॉलेशन + रीसेट - रीसेट)। इसमें दो संतुलित इनपुट आर और एस और दो संतुलित आउटपुट क्यू और क्यू हैं। दालों के रूप में इनपुट सिग्नल को दो आउटपुट में से प्रत्येक पर लागू किया जा सकता है (हम इनपुट पर एक पल्स की उपस्थिति पर विचार करेंगे, और इसकी अनुपस्थिति शून्य के रूप में)। सामान्य स्थिति में, फ्लिप-फ्लॉप और फ्लिप-फ्लॉप स्टोर्स के इनपुट आर और एस पर 0 सिग्नल लागू होता है। 1 लिखने के लिए, इनपुट एस (सेटिंग) पर सिग्नल 1 लागू होता है।

चावल। 2.3. ट्रिगर सर्किट: ए- तत्वों पर या और नहीं; बी- तत्वों पर या-नहीं

तालिका 2.13 सत्य तालिका

एस	आर	क्यू	क्यू
		निषिद्ध
		बिट स्टोरेज

मान "1" और इनपुट S पर सिग्नल गायब होने के बाद भी इसमें स्थिर रहेगा। ट्रिगर 1 याद किया, यानी। फ्लिप-फ्लॉप क्यू के आउटपुट से, आप 1 पढ़ सकते हैं।

जानकारी को रीसेट करने और एक नया प्राप्त करने के लिए तैयार करने के लिए, इनपुट आर (रीसेट) पर 1 सिग्नल लगाया जाता है, जिसके बाद ट्रिगर अपनी मूल (शून्य) स्थिति में वापस आ जाता है। यदि इनपुट आर और एस पर तार्किक 1 लागू किया जाता है, तो क्यू और क्यू की स्थिति नहीं बदलती है, दोनों इनपुट के लिए तार्किक 0 लागू करने से असाधारण परिणाम हो सकते हैं, और इसलिए इनपुट सिग्नल का यह संयोजन प्रतिबंधित है।

अंजीर पर। 2.3, बी NOR गेट्स का उपयोग करके फ्लिप-फ्लॉप कार्यान्वयन दिखाया गया है।

2.2.5. बाइनरी नंबर योजक

कंप्यूटर के संचालन को यथासंभव सरल बनाने के लिए, प्रोसेसर में सभी प्रकार के गणितीय कार्यों को बाइनरी नंबरों के जोड़ में घटा दिया जाता है, इसलिए प्रोसेसर का एक महत्वपूर्ण तत्व योजक है, जो इस तरह के जोड़ प्रदान करता है।

बाइनरी नंबर जोड़ते समय, योग वर्तमान अंक में बनता है; इस मामले में, इकाई को उच्चतम अंक में स्थानांतरित करना संभव है। हम पदों को निरूपित करते हैं - ए, बी, स्थानांतरण - पी और योग - एस।

तालिका 2.14

सिंगल-डिजिट बाइनरी नंबरों की जोड़ तालिका

टेबल से। 2.14 यह देखा जा सकता है कि तार्किक गुणन संचालन का उपयोग करके इकाई हस्तांतरण को लागू किया जा सकता है:

जहां पी - स्थानांतरण; ए और बी गुणक हैं।

राशि निर्धारित करने के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति का उपयोग किया जा सकता है:

एस = (एवीबी) और (ए एंड बी)।

आइए इस तार्किक व्यंजक के लिए एक सत्य तालिका बनाएं और सुनिश्चित करें कि हमारी धारणा सही है (सारणी 2.15)।

तालिका 2.15

फलन सत्य तालिका एफ = (ए वी बी) और (ए और बी)

लेकिन	पर	एवीबी	ए और बी	ए और बी	(एवीबी) और (ए एंड बी)

चावल। 2.4. द्विआधारी आधा योजक सर्किट

प्राप्त तार्किक अभिव्यक्तियों के आधार पर, बुनियादी तर्क तत्वों के आधार पर आधा योजक सर्किट बनाना संभव है।

तार्किक कैरी फॉर्मूला से, यह निर्धारित करना आसान है कि कैरी प्राप्त करने के लिए, AND गेट का उपयोग करना आवश्यक है।

योग के तार्किक सूत्र के विश्लेषण से पता चलता है कि आउटपुट तार्किक गुणन का एक तत्व होना चाहिए और जिसमें दो इनपुट हों। प्रारंभिक मूल्यों के तार्किक जोड़ का परिणाम ए वी बी इनपुट में से एक को खिलाया जाता है, यानी, तार्किक जोड़ तत्व से एक संकेत या इसे खिलाया जाना चाहिए।

मूल सिग्नल ए और बी के उल्टे तार्किक गुणन के परिणाम को दूसरे इनपुट पर लागू करना आवश्यक है, अर्थात। दूसरा इनपुट NOT तत्व से एक संकेत प्राप्त करता है, जिसके इनपुट को तार्किक गुणन तत्व और (चित्र। 2.4) से एक संकेत प्राप्त होता है।

इस योजना को अर्ध-योजक कहा जाता है, क्योंकि यह कम से कम महत्वपूर्ण बिट से हस्तांतरण को ध्यान में रखे बिना एक-बिट बाइनरी संख्याओं के योग को लागू करता है।

परीक्षण प्रश्न

1. क्या तर्क के बीजगणित की उपस्थिति व्यक्तिगत कंप्यूटर के विकास से जुड़ी है?

2. मूल तार्किक संक्रियाओं के नाम लिखिए।

3. ऐसे वाक्यों के उदाहरण दीजिए जो तार्किक कथन नहीं हैं।

4. तर्क के बीजगणित और सूचना के द्विआधारी एन्कोडिंग के बीच संबंध दिखाएं।

5. ऋणात्मक पूर्णांक -5 को याद रखने के लिए उच्चतम बिट में कौन सा तार्किक तत्व रखा जाना चाहिए?

6. तार्किक संक्रियाओं की प्राथमिकताओं के नाम लिखिए।

7. निम्नलिखित कथनों का निषेधन सूत्रित कीजिए: "2 > 5";
"दस< 7»; «а = 2».

8 कार्टेशियन में ड्रा क्षेत्र का समन्वय करता है (|x|< 1) и

9. यौगिक कथन "(ए और बी) और (सी वी डी)" की सच्चाई का निर्धारण करें,
सरल कथनों से युक्त: ए \u003d "प्रिंटर - आउटपुट डिवाइस
हाँ जानकारी", बी \u003d "प्रोसेसर - सूचना भंडारण उपकरण",
सी \u003d "मॉनिटर - सूचना आउटपुट डिवाइस", डी \u003d "कीबोर्ड -
सूचना प्रसंस्करण उपकरण।

10. सत्य सारणियों का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि तुल्यता संक्रिया तार्किक व्यंजक A के समतुल्य है<-» В = (А & В) v (А & В) и A<->बी = (एवीबी) और (एवीबी)।

11. सत्य सारणियों का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि तार्किक व्यंजक A v B और A और B समतुल्य हैं।

12. दो तर्कों के किन तार्किक कार्यों के अपने नाम हैं?

13. तीन तर्कों के तार्किक कार्यों की संख्या क्या है?

14. निम्नलिखित तार्किक व्यंजकों को सरल कीजिए:

(एवीए) ए और (एवीबी) और (बीवीबी)।

15. रोजमर्रा की जिंदगी से उदाहरण दें:

अगर (ए नहीं और बी नहीं), तो (सी या डी); (ए या बी) अगर और केवल अगर (सी या नहीं डी)।

16. ट्रिगर लॉजिक पर ट्रैक करें कि क्या होता है जब सिग्नल 1 इनपुट आर पर आता है।

17. 512 एमबी जानकारी स्टोर करने के लिए कितने बुनियादी तार्किक तत्वों की आवश्यकता है?

फ्रेंच भाषा के गहन अध्ययन के साथ "

कंप्यूटर की तार्किक नींव

कंप्यूटर विज्ञान पाठ्यपुस्तक

ग्रेड 10 . के लिए

विषय

§एक। तर्क की मूल बातें……………………………………………………3

2. लॉजिकल ऑपरेशंस…………………………..…………..5

3. तार्किक सूत्र। एक तार्किक सूत्र की सत्य तालिका………………………………………………………………..8

§ 4. तर्क के बीजगणित के मूल नियम। तार्किक सूत्रों का सरलीकरण……………………………………………11

5. तार्किक समस्याओं का समाधान………………………………….13

6. लॉजिक फंक्शन……………………………………….18

7. कंप्यूटर की तार्किक नींव। बुनियादी तार्किक तत्व……………………………………………………………………….21

§ 8. कंप्यूटर के तार्किक तत्व। ट्रिगर और योजक ……………………………………… ……………………………………….. ........25

आत्म-नियंत्रण के लिए प्रश्न…………………………………….29

§ 1. तर्क की मूल बातें।

बाइनरी सूचनाओं को संसाधित करने की प्रक्रिया में, कंप्यूटर अंकगणितीय और तार्किक संचालन करता है। इसलिए, कंप्यूटर की संरचना के बारे में एक विचार प्राप्त करने के लिए, कंप्यूटर के निर्माण के मूल तार्किक तत्वों से परिचित होना आवश्यक है। आइए इस परिचित को तर्क की मूल प्रारंभिक अवधारणाओं से शुरू करें।

शब्द "तर्क" स्वयं प्राचीन ग्रीक लोगो से आया है, जिसका अर्थ है "शब्द, विचार, अवधारणा, तर्क, कानून।"

लॉजिक्स- कानूनों और सोच के रूपों का विज्ञान।

प्राचीन पूर्व (चीन, भारत) के देशों में तर्क के रूपों और विधियों के बारे में पहली शिक्षाएँ उत्पन्न हुईं, लेकिन प्राचीन यूनानी विचारकों द्वारा बनाई गई शिक्षाएँ आधुनिक तर्क का आधार हैं। अरस्तू ने भाषण के तार्किक रूपों को अपनी सामग्री से अलग करने, तर्क की शब्दावली का पता लगाने, अनुमान और प्रमाण के सिद्धांत का विस्तार से विश्लेषण करने, कई तार्किक कार्यों का वर्णन करने और सोच के बुनियादी नियमों को तैयार करने वाले पहले व्यक्ति थे।

तर्क की मुख्य अवधारणाओं में निम्नलिखित शामिल हैं।

तार्किक कथन- यह कोई घोषणात्मक वाक्य है, जिसके संबंध में स्पष्ट रूप से कहा जा सकता है कि यह सत्य है या गलत।

तो, उदाहरण के लिए, वाक्य " 6 - सम संख्या" एक कथन माना जाना चाहिए, क्योंकि यह सत्य है। वाक्य " रोम फ्रांस की राजधानी है" भी एक कथन है, क्योंकि यह असत्य है।

कथनएक बयान है जिसे साबित या अस्वीकृत करने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, कोई भी प्रमेय एक कथन है जिसके लिए प्रमाण की आवश्यकता होती है।

विचारबयानों या बयानों का एक क्रम है जो एक निश्चित तरीके से एक दूसरे से संबंधित हैं।

उदाहरण के लिए, एक प्रमेय को सिद्ध करने की प्रक्रिया को तर्क कहा जा सकता है।

अनुमानसोच का एक रूप है जिसके द्वारा एक या अधिक प्रस्तावों से एक नया निर्णय लिया जाता है। अनुमान निगमनात्मक, आगमनात्मक और सादृश्य द्वारा हैं।

निगमनात्मक तर्क मेंतर्क सामान्य से विशेष की ओर बढ़ता है। उदाहरण के लिए, दो निर्णयों से: "सभी धातु विद्युत प्रवाहकीय हैं" और "बुध एक धातु है", हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि "बुध विद्युत प्रवाहकीय है।"

आगमनात्मक तर्क मेंतर्क विशेष से सामान्य की ओर बढ़ता है। उदाहरण के लिए, यह स्थापित करने के बाद कि व्यक्तिगत धातुओं - लोहा, तांबा, जस्ता, एल्यूमीनियम, आदि - में विद्युत चालकता का गुण होता है, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सभी धातुएं विद्युत प्रवाहकीय हैं।

सादृश्य द्वारा अनुमानएक वस्तु के बारे में ज्ञान को दूसरी वस्तु में स्थानांतरित करता है। उदाहरण के लिए, सूर्य और पृथ्वी की रासायनिक संरचना कई मायनों में समान है। इसलिए, जब रासायनिक तत्व हीलियम, जो अभी भी पृथ्वी पर अज्ञात था, सूर्य पर खोजा गया था, तो सादृश्य द्वारा यह निष्कर्ष निकाला गया था कि ऐसा तत्व पृथ्वी पर भी मौजूद है।

बेशक हर वाक्य एक तार्किक कथन नहीं है. कथन नहीं हैं, उदाहरण के लिए, वाक्य " दसवीं कक्षा का छात्र" और " कंप्यूटर विज्ञान एक दिलचस्प विषय है"। पहला वाक्य छात्र के बारे में कुछ भी नहीं बताता है, और दूसरा बहुत अस्पष्ट अवधारणा का उपयोग करता है" दिलचस्प विषय". प्रश्नवाचक और विस्मयादिबोधक वाक्य भी कथन नहीं हैं, क्योंकि उनके सत्य या असत्य के बारे में बात करने का कोई मतलब नहीं है।

जैसे ऑफर " शहर मेए एक लाख से अधिक निवासी", "उसकी नीली आंखें हैं"बयान नहीं हैं, क्योंकि उनकी सच्चाई या झूठ को स्पष्ट करने के लिए अतिरिक्त जानकारी की आवश्यकता है: किस विशेष शहर या व्यक्ति पर चर्चा की जा रही है। ऐसे वाक्यों को कहा जाता है तार्किक अभिव्यक्तियाँ।

बूलियन अभिव्यक्तिएक घोषणात्मक वाक्य है जिसमें प्रत्यक्ष या परोक्ष रूप से कम से कम एक चर होता है और एक बयान बन जाता है जब सभी चर को उनके मूल्यों से बदल दिया जाता है।

ज्ञान का वह क्षेत्र जो प्रस्तावों की सच्चाई या असत्य का अध्ययन करता है, कहलाता है गणितीय तर्क।

जिस प्रकार गणित की एक शाखा, बीजगणित, को चरों पर क्रियाओं का वर्णन करने के लिए विकसित किया गया था, उसी प्रकार गणितीय तर्क में तार्किक अभिव्यक्तियों को संसाधित करने के लिए एक प्रस्तावक बीजगणित या तर्क का बीजगणित बनाया गया था।

तर्क का बीजगणित- यह गणितीय तर्क की एक शाखा है जो उनके तार्किक मूल्यों (सत्य या गलत) और उन पर तार्किक संचालन के पक्ष से विचार किए गए बयानों का अध्ययन करती है।

तर्क का बीजगणित उन्नीसवीं शताब्दी के मध्य में अंग्रेजी गणितज्ञ के कार्यों में उत्पन्न हुआ जॉर्ज बूले. इसका निर्माण बीजगणितीय विधियों का उपयोग करके पारंपरिक तार्किक समस्याओं को हल करने का एक प्रयास था।

तर्क का बीजगणित किसी भी कथन को केवल एक ही दृष्टिकोण से मानता है - चाहे वह सत्य हो या असत्य। नोटिस जो बयान की सच्चाई को स्थापित करना अक्सर मुश्किल होता है. इसलिए, उदाहरण के लिए, कथन " भारतीय सतह क्षेत्र महासागर 75 मिलियन वर्ग मीटर है। किमी" एक स्थिति में असत्य माना जा सकता है, और दूसरे में - सत्य। असत्य - चूंकि संकेतित मान गलत है और बिल्कुल भी स्थिर नहीं है। सत्य - यदि हम इसे कुछ सन्निकटन के रूप में मानते हैं जो व्यवहार में स्वीकार्य है।

§ 2. तार्किक संचालन।

आमतौर पर इस्तेमाल किए जाने वाले शब्द और वाक्यांश "नहीं", "और", "या", "अगर ... तब", "तब और केवल तब"और अन्य हमें पहले से दिए गए कथनों से नए कथन बनाने की अनुमति देते हैं। ऐसे शब्दों और वाक्यांशों को कहा जाता है तार्किक कनेक्शन।

तार्किक संयोजकों की सहायता से अन्य कथनों से बनने वाले कथन कहलाते हैं मिश्रित।वे कथन जो यौगिक नहीं हैं कहलाते हैं प्राथमिक.

इसलिए, उदाहरण के लिए, प्रारंभिक कथनों से " पेट्रोव - डॉक्टर", "पेट्रोव - शतरंज खिलाड़ी"एक लिंक की मदद से" और"आप एक कंपाउंड स्टेटमेंट प्राप्त कर सकते हैं" पेट्रोव - डॉक्टर और शतरंज खिलाड़ी", जैसा समझा " पेट्रोव एक डॉक्टर है जो शतरंज अच्छा खेलता है".

लिंक के साथ " या"उसी कथन से आप एक यौगिक कथन प्राप्त कर सकते हैं" पेट्रोव - डॉक्टर या शतरंज खिलाड़ी", तार्किक बीजगणित में समझा जाता है" पेट्रोव या डॉक्टर, या शतरंज खिलाड़ी, या एक ही समय में डॉक्टर और शतरंज खिलाड़ी दोनों".

इस प्रकार प्राप्त यौगिक प्रस्तावों की सच्चाई या असत्यता प्राथमिक प्रस्तावों की सच्चाई या असत्य पर निर्भर करती है।

तार्किक प्रस्तावों को संदर्भित करने के लिए, उन्हें नाम दिए गए हैं।आगे बढ़ने देना लेकिनकथन अंकित है "गर्मियों में समुद्र में जाएंगे तैमूर",और के माध्यम से पर- बयान "तैमूर गर्मियों में पहाड़ों पर जाएगा।"फिर यौगिक कथन "गर्मियों में समुद्र और पहाड़ों दोनों की सैर करेंगे तैमूर"संक्षेप में लिखा जा सकता है ए और बी. यहां "और"- तार्किक संबंध ए, बी- तार्किक चर जो केवल दो मान ले सकते हैं - "सत्य" या "गलत", क्रमशः, "1" और "0"।

संयोजी "और" द्वारा व्यक्त किए गए ऑपरेशन को कहा जाता है संयोजन(अव्य। संयोजन - कनेक्शन) या तार्किक गुणनऔर एक बिंदु "।" द्वारा निरूपित किया जाता है (इसे या & द्वारा भी दर्शाया जा सकता है)।

बयान लेकिन . परसत्य यदि और केवल यदि दोनों कथन लेकिनऔर परसच।

उदाहरण के लिए, कथन "10 2 से विभाज्य है और 5 3 से बड़ा है"सच है, और बयान "10 2 से विभाज्य है और 5 3 से बड़ा नहीं है", "10 2 से विभाज्य नहीं है और 5 3 से बड़ा है", "10 2 से विभाज्य नहीं है और 5 3 से बड़ा नहीं है"- झूठे हैं।

संयोजी "या" (शब्द के गैर-अनन्य अर्थ में) द्वारा व्यक्त की गई क्रिया को कहा जाता है अलगाव(lat. disjunctio - जुदाई) या तार्किक जोड़और इसे v (या प्लस) से निरूपित किया जाता है।

बयान ए वी बीअसत्य है यदि और केवल यदि दोनों कथन लेकिनऔर परझूठा।

उदाहरण के लिए, कथन "10 2 से विभाज्य नहीं है या 5 3 से अधिक नहीं है"झूठे, और बयान "10 2 से विभाज्य है या 5 3 से बड़ा है", "10 2 से विभाज्य है या 5 3 से बड़ा नहीं है", "10 2 से विभाज्य नहीं है या 5 3 से बड़ा है"- सच।

"नहीं" शब्द द्वारा व्यक्त की जाने वाली क्रिया कहलाती है तार्किकइनकारया उलट देनाऔर कथन के ऊपर एक बार (या चिह्न  द्वारा) द्वारा इंगित किया गया है।

बयान  लेकिनसच जब एझूठा और झूठा जब एसच।

उदाहरण के लिए, " चंद्रमा पृथ्वी का उपग्रह है"(सत्य़; " चंद्रमा पृथ्वी का उपग्रह नहीं है" ( लेकिन) गलत है।

संयोजकों द्वारा व्यक्त की गई संक्रिया "यदि..., तब", "से... अनुसरण करती है", "... शामिल है...", कहलाती है निहितार्थ(अव्य। इम्प्लिको - निकट से संबंधित) और संकेत  द्वारा इंगित किया गया है।

बयान लेकिन परझूठा अगर और केवल अगर लेकिनसच, और परझूठा।

निहितार्थ दो प्राथमिक प्रस्तावों को कैसे जोड़ता है?

आइए इसे एक उदाहरण के साथ दिखाते हैं: "यह चतुर्भुज एक वर्ग है" (लेकिन) और "किसी दिए गए चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है"(पर) एक यौगिक कथन पर विचार करें लेकिन पर, जैसा समझा "यदि दिया गया चतुर्भुज एक वर्ग है, तो उसके चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है।"

वहाँ है तीन विकल्पजब बयान लेकिन परसच:

लेकिनसच और परसच है, अर्थात् दिया गया चतुर्भुज एक वर्ग है, और इसके चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है;

लेकिनझूठा और परसच है, अर्थात् दिया गया चतुर्भुज एक वर्ग नहीं है, लेकिन इसके चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है (बेशक, यह किसी भी चतुर्भुज के लिए सत्य नहीं है);

एझूठा और बीअसत्य है, अर्थात दिया गया चतुर्भुज एक वर्ग नहीं है और इसके चारों ओर एक वृत्त नहीं बनाया जा सकता है।

केवल एक विकल्प असत्य है जब A सत्य है और B गलत हैअर्थात् दिया गया चतुर्भुज एक वर्ग है, लेकिन इसके चारों ओर एक वृत्त नहीं बनाया जा सकता है।

सामान्य भाषण में, लिंक "तो अगर"कथनों के बीच एक कारण संबंध का वर्णन करता है। लेकिन तार्किक संचालन में, बयानों के अर्थ को ध्यान में नहीं रखा जाता है। उनके सच या झूठ को ही माना जाता है। इसलिए, किसी को सामग्री में पूरी तरह से असंबंधित बयानों द्वारा गठित निहितार्थों की "अर्थहीनता" से शर्मिंदा नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, इस तरह: "अगर संयुक्त राज्य अमेरिका के राष्ट्रपति डेमोक्रेट हैं, तो अफ्रीका में जिराफ हैं", "अगर तरबूज एक बेरी है, तो गैस स्टेशन में गैसोलीन है।"

संयोजकों द्वारा व्यक्त की गई संक्रिया "यदि और केवल तब", "आवश्यक और पर्याप्त", "... के बराबर..." कहलाती है समकक्षया दोहरा निहितार्थऔर या ~ द्वारा निरूपित किया जाता है।

बयान लेकिन परसच अगर और केवल अगर मान लेकिनऔर परमिलान।

उदाहरण के लिए, कथन "24 6 से विभाज्य है यदि और केवल यदि 24 3 से विभाज्य है", "23 6 से विभाज्य है यदि और केवल 23 3 से विभाज्य है"सच है, और बयान "24 6 से विभाज्य है यदि और केवल यदि 24 5 से विभाज्य है", "21 6 से विभाज्य है यदि और केवल यदि 21 3 से विभाज्य है"झूठा।

बातें लेकिनऔर पर,एक यौगिक कथन बनाना लेकिन पर, सामग्री में पूरी तरह से असंबंधित हो सकता है, उदाहरण के लिए: "तीन दो से अधिक है" (लेकिन), "पेंगुइन अंटार्कटिका में रहते हैं" (पर) इन कथनों के नकारात्मक कथन हैं "तीन दो से अधिक नहीं है"( ए), "पेंगुइन अंटार्कटिका में नहीं रहते"( बी)। कहावतों से बना लेकिनऔर परयौगिक कथन ए बीऔर  ए  बीसच है, और बयान ए  बीऔर  ए बी- झूठे हैं।

3. तार्किक सूत्र। बूलियन सत्य तालिका

सूत्र

तार्किक चरों और तार्किक संक्रियाओं के प्रतीकों की सहायता से कोई भी कथन हो सकता है सजानाअर्थात एक तार्किक सूत्र के साथ बदलें।

परिभाषा तार्किक सूत्र:

कोई भी तार्किक चर और प्रतीक "सत्य" ("1") और "गलत" ("0") सूत्र हैं।

यदि A और B सूत्र हैं, तो A, A. B, A v B, A  B, A  B सूत्र हैं।

3. तर्क के बीजगणित में कोई अन्य सूत्र नहीं हैं।

खंड 1 परिभाषित करता है प्राथमिक सूत्र; पैराग्राफ 2 में दिए गए हैं किसी दिए गए फॉर्मूले से नए फॉर्मूले बनाने के नियम।

एक उदाहरण के रूप में, कथन पर विचार करें "अगर मैं सेब या खुबानी खरीदता हूं, तो मैं फलों की पाई बनाऊंगा।"इस कथन को औपचारिक रूप दिया गया है (ए वी बी) सी. वही सूत्र कथन से मेल खाता है "अगर इगोर अंग्रेजी या जापानी जानता है, तो उसे दुभाषिया के रूप में नौकरी मिल जाएगी।"

जैसा कि सूत्र के विश्लेषण से पता चलता है (ए वी बी) सी, चर मानों के कुछ संयोजनों के लिए ए, बीऔर सीयह "सत्य" मान लेता है, और कुछ अन्य संयोजनों के साथ - मान "झूठा"। ऐसे सूत्र कहलाते हैं साध्य.

कुछ सूत्र उनमें शामिल चरों के किसी भी सत्य मान के लिए "सत्य" मान लेते हैं। उदाहरण के लिए, सूत्र एक वी लेकिनकथन के अनुरूप "यह त्रिकोण सही है या नहीं?"जब त्रिभुज समकोण हो और त्रिभुज समकोण न हो, दोनों में सत्य है। ऐसे सूत्र कहलाते हैं समान रूप से सत्य सूत्रया तनातनी. बयान जो तनातनी द्वारा औपचारिक रूप से तैयार किए जाते हैं उन्हें कहा जाता है तार्किक रूप से सत्य कथन।

एक अन्य उदाहरण के रूप में, सूत्र पर विचार करें लेकिन .  लेकिन, जो, उदाहरण के लिए, कथन से मेल खाती है "कात्या कक्षा में सबसे लंबी लड़की है, और कक्षा में कात्या से लंबी लड़कियां हैं।"जाहिर है, यह सूत्र गलत है, क्योंकि या तो लेकिन,या  लेकिनअनिवार्य रूप से झूठा। ऐसे सूत्र कहलाते हैं समान रूप से झूठे सूत्रया विरोधाभासों. अंतर्विरोधों द्वारा औपचारिक रूप देने वाले कथन कहलाते हैं तार्किक रूप से झूठे बयान।

यदि दो सूत्र A और B एक साथ अर्थात् उनमें सम्मिलित चरों के मानों के समान समुच्चय के साथ समान मान लेते हैं, तो वे कहलाते हैं समकक्ष.

तर्क के बीजगणित के दो सूत्रों की तुल्यता को प्रतीक "=" द्वारा निरूपित किया जाता है, सूत्र को उसके समतुल्य दूसरे सूत्र से प्रतिस्थापित करना कहलाता है समकक्ष परिवर्तनयह सूत्र।

हमने पांच तार्किक संक्रियाओं पर विचार किया है : निषेध, संयोजन, वियोग, निहितार्थ और तुल्यता।

निहितार्थ के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है अलगावऔर नकार:

लेकिन बी =  एवी बी।

समानक के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है नकार , अलगाव और संयोजन :

लेकिन बी = ( ए वी बी)। ( बीवी ए)।

इस प्रकार, संचालननिषेध, वियोग और संयोजन तार्किक कथनों का वर्णन करने और उन्हें संसाधित करने के लिए पर्याप्त है।

तार्किक संचालन के निष्पादन का क्रम कोष्ठक द्वारा दिया गया है। लेकिन कोष्ठकों की संख्या को कम करने के लिए, हम इस बात पर विचार करने के लिए सहमत हुए कि नकार संचालन ("नहीं") पहले किया जाता है, फिर संयोजन ("और"), संयोजन के बाद, संयोजन ("या"), और अंत में, निहितार्थ

तर्क सूत्र सत्य तालिका- चर मूल्यों और सूत्र मूल्यों के सभी संभावित सेटों के बीच पत्राचार को व्यक्त करने वाली तालिका।

दो चर वाले सूत्र के लिए, चर मानों के केवल चार ऐसे सेट होते हैं: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)।

यदि सूत्र में तीन चर हैं, तो ऐसे आठ समुच्चय हैं: (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0 , 0) , (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)।

चार चरों वाले सूत्र के समुच्चयों की संख्या सोलह है, इत्यादि। यानी अगर एनचरों की संख्या है, तो 2 एनचर मानों के सेट की संख्या है।

प्राथमिक तार्किक सूत्रों की सत्य तालिका

संयोजन

अलगाव

उलट देना

निहितार्थ

समानक

एक्स

पर

एक्स वाई

एक्स

पर

एक्स अत

एक्स

 एक्स

एक्स

पर

एक्स अत

एक्स

पर

एक्स अत

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

कई तार्किक संचालन वाले सूत्र के मूल्यों को खोजने पर संकेतन का एक सुविधाजनक रूप एक तालिका है जिसमें चर के मूल्यों और सूत्र के मूल्यों के अलावा, मूल्यों को भी इंगित किया जाता है .

मध्यवर्ती सूत्र।

उदाहरण।

1. सूत्र के लिए एक सत्य तालिका संकलित करें  एक्स वाई  (एक्स वाई) एक्स,जिसमें दो चर x और y हैं। तालिका के पहले दो स्तंभों में, हम इन चरों के मूल्यों के चार संभावित जोड़े लिखते हैं, बाद के स्तंभों में - मध्यवर्ती सूत्रों के मान, और अंतिम स्तंभ में - सूत्र का मान।

चर

सूत्र

एक्स

पर

 एक्स

 एक्स वाई

एक्स अत

 (एक्स वाई)

 एक्स वाई (एक्स  वाई)

 एक्स वाई (एक्स  वाई)  एक्स

तालिका से देखा जा सकता है कि चर x और y के मानों के सभी सेटों के लिए, सूत्र मान 1 . लेता है, वह है, is समान रूप से सत्य .

2. सूत्र के लिए सत्य तालिका:  (x  y) (x  y)

चर

मध्यवर्ती तार्किक सूत्र

सूत्र

एक्स

पर

एक्स अत

 (एक्स वाई)

 पर

एक्स · अत

 (एक्स वाई) (एक्स  वाई)

तालिका से देखा जा सकता है कि चर x और y के मानों के सभी सेटों के लिए, सूत्र मान 0 . लेता है, वह है, is समान रूप से असत्य .

3. सूत्र के लिए सत्य तालिका: (एक्स  वाई)  एक्स ·जेड

चर

मध्यवर्ती तार्किक सूत्र

सूत्र

एक्स

आप

जेड

 पर

एक्स अत

 (एक्स वाई)

 एक्स

 एक्स · जेड

 (एक्स y) x z

तालिका से पता चलता है कि कुछ मामलों में सूत्र 1 का मान लेता है, और कुछ में - 0, यानी यह संभव है।

§ 4. तर्क के बीजगणित के मूल नियम। सरलीकरण

तार्किक सूत्र।

तार्किक सूत्रों के समतुल्य परिवर्तनों का वही उद्देश्य होता है जो साधारण बीजगणित में सूत्रों के परिवर्तन का होता है। वे तर्क के बीजगणित के मूल नियमों का उपयोग करके सूत्रों को सरल बनाने या उन्हें एक निश्चित रूप में लाने का काम करते हैं।

नीचे सूत्र सरलीकरण, जिसमें निहितार्थ और तुल्यता के संचालन शामिल नहीं हैं, को एक समान परिवर्तन के रूप में समझा जाता है, जो एक सूत्र के लिए अग्रणी होता है, जिसमें मूल की तुलना में, संयोजन और संयोजन संचालन की एक छोटी संख्या होती है और इसमें गैर-प्राथमिक सूत्रों की उपेक्षा नहीं होती है, या चरों की घटनाओं की एक छोटी संख्या होती है।

तर्क के बीजगणित में, निम्नलिखित बुनियादी कानून संतुष्ट हैं, जिससे आप उत्पादन कर सकते हैं तार्किक अभिव्यक्तियों के समान परिवर्तन.

कानून

प्रदर्शन

तार्किक बीजगणित में

स्थानांतरित करने योग्य (कम्यूटिव)

ए  बी = बी  ए, ए  बी = बी  ए

सहयोगी (सहयोगी)

ए (बी  सी) = (ए  बी) एस,

ए (बी  सी) = (ए  बी)  सी

वितरण (वितरण)

ए (बी  सी) = (ए  बी)  (ए  सी) ,

ए (बी  सी) = (ए  बी)  (ए  सी)

डी मॉर्गन नियम

 (ए  बी) =  ए  बी,

 (ए  बी) =  ए  बी

दोहरे निषेध का नियम (संक्रमण)

  ए = ए

एक चर और इसके व्युत्क्रम के साथ संचालन

ए   ए = 0, ए  ए = 1

स्थिरांक के साथ संचालन

ए  1 = 1 , ए  1 = ए

ए  0 = ए, ए  0 = 0

नपुंसकता के नियम

ए ए = ए, ए  ए = ए

अवशोषण कानून

एक्स  (एक्स  वाई) = एक्स, एक्स  (एक्स  वाई) = एक्स

ग्लूइंग के नियम

(एक्स  वाई)  ( एक्स  वाई) = वाई,

(एक्स  वाई)  ( एक्स  वाई) = वाई

तार्किक सूत्रों के कुछ परिवर्तन साधारण बीजगणित में सूत्रों के परिवर्तन के समान होते हैं(सामान्य कारक को ब्रैकेट करना, कम्यूटेटिव और सहयोगी कानूनों का उपयोग करना, आदि), जबकि अन्य परिवर्तन उन गुणों पर आधारित होते हैं जो साधारण बीजगणित संक्रियाओं में नहीं होते हैं(संयोजन के लिए वितरण कानून का उपयोग, अवशोषण के नियम, ग्लूइंग, डी मॉर्गन, आदि)।

आइए कुछ उदाहरण देखें तार्किक सूत्रों को सरल बनाने में उपयोग की जाने वाली तकनीकें और विधियाँ।

उदाहरण 1

 (एक्स  वाई) (एक्स  वाई) =  एक्स · वाई (एक्स वाई) = एक्स एक्स एक्स वाई · वाई = 0 वाई · वाई = 0 वाई =0
(तर्क के बीजगणित के नियम निम्नलिखित क्रम में लागू होते हैं: डी मॉर्गन का नियम, संघ का कानून, इसके व्युत्क्रम के साथ एक चर के संचालन का नियम और स्थिरांक के साथ संचालन का नियम)।

उदाहरण 2

 एक्स वाई  (एक्स  वाई)  एक्स =  एक्स वाई  एक्स · पर एक्स = एक्स (वाई वाई) एक्स = एक्स एक्स =1
(डी मॉर्गन का नियम लागू किया जाता है, सामान्य कारक को कोष्ठक से निकाल दिया जाता है, इसके व्युत्क्रम के साथ एक चर के संचालन के नियम का उपयोग किया जाता है)।

उदाहरण 3

(एक्स  वाई) · (  एक्स  वाई) · (  एक्स   वाई) = (एक्स वाई) · ( एक्स वाई) · ( एक्स वाई) · ( एक्स  वाई) =वाई ·  एक्स
(दूसरा कारक दोहराया जाता है, जिसे idempotent के कानून द्वारा अनुमति दी जाती है; फिर पहले दो और अंतिम दो कारक संयुक्त होते हैं और ग्लूइंग के कानून का उपयोग किया जाता है)।

उदाहरण 4

 (एक्स वाई   जेड ) =  (एक्स वाई)  जेड =  (एक्स वाई) जेड
(पहले, हम चाहते हैं कि निषेध चिह्न केवल अलग-अलग चर के सामने खड़ा हो, न कि उनके संयोजनों के सामने, इसके लिए हम मॉर्गन नियम लागू करते हैं; फिर हम दोहरे निषेध के नियम का उपयोग करते हैं);

उदाहरण 5

एक्स वाई एक्स · वाई ·जेड  एक्स आरजेड\u003d x (y y z z p) \u003d x (y (1  z) z p) \u003d

= एक्स (वाई जेड · आर)

(सामान्य कारकों को कोष्ठक से निकाल दिया जाता है; स्थिरांक के साथ संचालन का नियम लागू होता है);

उदाहरण 6.

एक्स  आप  एक्स वाई जेड  एक्स  वाई ज़ू  एक्स  (वाई जेड)= एक्स (  आप  वाई ज़ू   वाई ज़ू   (वाई जेड)) =

= एक्स · (( आप  आप · जेड )  (आप · जेड   (आप · जेड )) = एक्स · ( आप  आप · जेड  1) = एक्स 1 =एक्स
(सामान्य कारक x को कोष्ठक से बाहर निकाला जाता है, कोष्ठक में शब्द संयुक्त होते हैं - पहला तीसरे के साथ और दूसरा चौथे के साथ, इसके व्युत्क्रम के साथ चर संचालन का नियम वियोजन पर लागू होता है);

इन उदाहरणों से यह देखा जा सकता है कि तार्किक सूत्रों को सरल करते समय, यह हमेशा स्पष्ट नहीं होता है कि तर्क के बीजगणित के कौन से नियम एक या दूसरे चरण में लागू किए जाने चाहिए। कौशल अनुभव के साथ आते हैं।

5. तार्किक समस्याओं का समाधान।

तार्किक समस्याओं की विविधता बहुत बड़ी है। इन्हें हल करने के भी कई तरीके हैं। लेकिन तार्किक समस्याओं को हल करने के लिए निम्नलिखित तीन विधियों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है:

तर्क के बीजगणित के साधन;

सारणीबद्ध;

तर्क के माध्यम से।

आइए एक-एक करके उन्हें जानते हैं।

I. तर्क के बीजगणित के माध्यम से तार्किक समस्याओं को हल करना

निम्नलिखित आमतौर पर प्रयोग किया जाता है समाधान योजना:

समस्या की स्थिति का अध्ययन किया जाता है;

तार्किक बयानों के लिए संकेतन की एक प्रणाली शुरू की गई है;

एक तार्किक सूत्र का निर्माण किया जाता है जो समस्या की स्थिति के सभी बयानों के बीच तार्किक संबंधों का वर्णन करता है;

इस तार्किक सूत्र के सत्य मान निर्धारित होते हैं;

सूत्र के सत्य के प्राप्त मूल्यों से, प्रस्तुत तार्किक कथनों के सत्य मूल्यों का निर्धारण किया जाता है, जिसके आधार पर समाधान के बारे में निष्कर्ष निकाला जाता है।

उदाहरण 1फॉर्मूला 1 रेसिंग के प्रशंसक, तीन दोस्त दौड़ के आगामी चरण के परिणामों के बारे में बहस कर रहे थे।

- आप देखेंगे, शूमाकर पहले नहीं आएंगे," जॉन ने कहा। पहाड़ी पहले होगी।

- नहीं, विजेता हमेशा की तरह होगा, शूमाकर, - निक ने कहा। - और एलेसी के बारे में कहने के लिए कुछ भी नहीं है, वह पहले नहीं होंगे।

पीटर, जिसे निक ने संबोधित किया, नाराज था:

- हिल पहले स्थान पर कभी नहीं देखेगा, लेकिन एलेसी सबसे शक्तिशाली कार पायलट करता है।

रेसिंग चरण के अंत में, यह पता चला कि दो दोस्तों की दो मान्यताओं में से प्रत्येक की पुष्टि की गई थी, और तीसरे दोस्तों की दोनों धारणाएं गलत निकलीं। रेस स्टेज किसने जीता?

फेसला।

आइए तार्किक कथनों के लिए संकेतन का परिचय दें:

वू- शूमाकर जीतता है; एक्स- हिल जीत जाएगा; लेकिनएलेसी जीतता है।

निक की प्रतिक्रिया "एलेसी पायलट्स द मोस्ट पावरफुल कार" में इस ड्राइवर के स्थान के बारे में कोई बयान नहीं है, इसलिए, आगे के तर्क में इसे ध्यान में नहीं रखा गया है।

आइए प्रत्येक मित्र के बयान दर्ज करें:

जॉन:  डब्ल्यू एक्स, निक: डब्ल्यू · लेकिन, पीटर:  एक्स

यह ध्यान में रखते हुए कि दो मित्रों की मान्यताओं की पुष्टि की गई थी, और तीसरे की धारणाएं गलत हैं, हम सही कथन लिखते हैं और सरल करते हैं

(डब्ल्यू एक्स) (डब्ल्यू  ए) एक्स ( डब्ल्यू एक्स)  (डब्ल्यू  ए) एक्स ( डब्ल्यू एक्स) (डब्ल्यू  ए)  एक्स \u003d \u003d ( डब्ल्यू एक्स डब्ल्यू  ए एक्स) ( डब्ल्यू एक्स  (डब्ल्यू  ए)  एक्स) (डब्ल्यू  एक्स) डब्ल्यू  ए  एक्स = = 0  0  डब्ल्यू  ए  एक्स = डब्ल्यू  ए  एक्स

बयान डब्ल्यू · लेकिन · एक्ससच तभी जब डब्ल्यू = 1, ए = 0, एक्स = 0।

जवाब।शूमाकर रेस स्टेज के विजेता बने।

द्वितीय. सत्य तालिकाओं का उपयोग करके तार्किक समस्याओं को हल करना।

इस पद्धति का उपयोग करते समय, समस्या में शामिल स्थितियां और तर्क के परिणाम विशेष रूप से संकलित तालिकाओं का उपयोग करके दर्ज किए जाते हैं।

उदाहरण 2सिम्फनी ऑर्केस्ट्रा ने तीन संगीतकारों को काम पर रखा: ब्राउन, स्मिथ और विसन, जो वायलिन, बांसुरी, वायोला, शहनाई, ओबो और तुरही बजा सकते हैं।

ह ज्ञात है कि:

स्मिथ सबसे लंबा है;

वायलिन वादक बांसुरी वादक से छोटा होता है;

वायलिन और बांसुरी वादक और ब्राउन को पिज्जा पसंद है;

जब वायलिन वादक और तुरही के बीच झगड़ा होता है, स्मिथ उनका मेल-मिलाप कर देता है;

ब्राउन या तो तुरही या ओबाउ नहीं बजा सकता।

यदि प्रत्येक संगीतकार के पास दो वाद्ययंत्र हों तो प्रत्येक संगीतकार कौन से वाद्य यंत्र बजाता है?

फेसला।

आइए एक तालिका बनाएं और उसमें समस्या की स्थितियों को प्रतिबिंबित करें, संबंधित कोशिकाओं को 0 और 1 के साथ भरें, इस पर निर्भर करता है कि संबंधित कथन गलत है या सत्य है।

चूंकि तीन संगीतकार हैं, छह वाद्ययंत्र हैं, और प्रत्येक खिलाड़ी केवल दो वाद्ययंत्र बजाता है, यह पता चलता है कि प्रत्येक संगीतकार ऐसे वाद्ययंत्र बजाता है जो बाकी के पास नहीं है।

यह शर्त 4 का अनुसरण करता है कि स्मिथ वायोला या तुरही नहीं बजाता है, और शर्तों 3 और 5 से कि ब्राउन वायलिन, बांसुरी, तुरही और ओबाउ नहीं बजा सकता है। इसलिए, ब्राउन के वाद्ययंत्र वायोला और शहनाई हैं। आइए इसे तालिका में रखें, और "वायोला" और "शहना" कॉलम के शेष कक्षों को शून्य से भरें:

वायोलिन

बांसुरी

अल्टो

शहनाई

ओबाउ

पाइप

भूरा

लोहार

बढ़िया लिनन

तालिका से पता चलता है कि केवल विसन ही तुरही बजा सकते हैं।

शर्तें 1 और 2 का अर्थ है कि स्मिथ वायलिन वादक नहीं है। चूँकि न तो ब्राउन और न ही स्मिथ वायलिन बजाते हैं, इसलिए विसन वायलिन वादक हैं। विसन द्वारा बजाए गए दोनों उपकरणों को अब परिभाषित किया गया है, इसलिए स्ट्रिंग "विसन" में शेष कोशिकाओं को शून्य से भरा जा सकता है:

वायोलिन

बांसुरी

अल्टो

शहनाई

ओबाउ

पाइप

भूरा

लोहार

बढ़िया लिनन

तालिका से पता चलता है कि केवल स्मिथ बांसुरी और ओबाउ बजा सकते हैं।

वायोलिन

बांसुरी

अल्टो

शहनाई

ओबाउ

पाइप

भूरा

लोहार

बढ़िया लिनन

जवाब:ब्राउन वायोला और शहनाई बजाता है, स्मिथ बांसुरी और ओबाउ बजाता है, और विसन वायलिन और तुरही बजाता है।

उदाहरण 3तीन सहपाठियों - व्लाद, तैमूर और यूरा, स्नातक होने के 10 साल बाद मिले। यह पता चला कि उनमें से एक डॉक्टर बन गया, दूसरा भौतिक विज्ञानी, और तीसरा वकील। एक को पर्यटन से प्यार हो गया, दूसरे को दौड़ से, तीसरे का जुनून - रग्बी।

यूरा ने कहा कि उनके पास पर्यटन के लिए पर्याप्त समय नहीं है, हालांकि उनकी बहन परिवार में एकमात्र डॉक्टर हैं, जो एक उत्साही पर्यटक हैं।

डॉक्टर ने कहा कि उन्होंने अपने सहयोगी के जुनून को साझा किया।

यह मज़ेदार है, लेकिन दो दोस्तों के नाम का एक भी अक्षर उनके पेशे और शौक के नाम पर नहीं है।

निर्धारित करें कि कौन अपने खाली समय में क्या करना पसंद करता है और किसके पास कौन सा पेशा है।

फेसला।

यहां, प्रारंभिक डेटा को ट्रिपल (नाम - पेशा - शौक) में विभाजित किया गया है।

यूरा की बातों से साफ है कि उन्हें न तो टूरिज्म का शौक है और न ही वह डॉक्टर हैं। डॉक्टर के शब्दों से पता चलता है कि वह एक पर्यटक है।

नाम

युरा

पेशा

चिकित्सक

जोश

पर्यटन

"डॉक्टर" शब्द में मौजूद "ए" अक्षर इंगित करता है कि व्लाद डॉक्टर नहीं है, इसलिए डॉक्टर तैमूर है। उनके नाम में "t" और "r" अक्षर हैं, जो "पर्यटन" शब्द में पाए जाते हैं, इसलिए उनके दूसरे दोस्त, पेशे और शौक के नाम पर जिनके नाम का एक भी अक्षर नहीं मिलता है - यूरा . यूरा एक वकील नहीं है और न ही रग्बी खिलाड़ी है, क्योंकि उसके नाम में "यू" और "आर" अक्षर हैं। इसलिए, हमारे पास अंत में है:

नाम

युरा

तैमूर

व्लादो

पेशा

भौतिक विज्ञानी

चिकित्सक

वकील

जोश

Daud

पर्यटन

रग्बी

जवाब।व्लाद एक वकील और रग्बी खिलाड़ी है, तैमूर एक डॉक्टर और एक पर्यटक है, यूरा एक भौतिक विज्ञानी और एक धावक है।

III. तर्क का उपयोग करके तार्किक समस्याओं को हल करना

इस तरह, साधारण तार्किक समस्याएं आमतौर पर हल हो जाती हैं।

उदाहरण 4वादिम, सर्गेई और मिखाइल विभिन्न विदेशी भाषाओं का अध्ययन करते हैं: चीनी, जापानी और अरबी। यह पूछे जाने पर कि उनमें से प्रत्येक ने किस भाषा का अध्ययन किया, एक ने उत्तर दिया: "वादिम चीनी का अध्ययन कर रहा है, सर्गेई चीनी का अध्ययन नहीं कर रहा है, और मिखाइल अरबी का अध्ययन नहीं कर रहा है।" बाद में, यह पता चला कि इस उत्तर में केवल एक कथन सत्य है, और अन्य दो गलत हैं। प्रत्येक युवा कौन सी भाषा सीख रहा है?

फेसला. तीन कथन हैं:

वादिम चीनी का अध्ययन करता है;

सर्गेई चीनी का अध्ययन नहीं करता है;

मिखाइल अरबी नहीं पढ़ता है।

यदि पहला कथन सत्य है, तो दूसरा भी सत्य है, क्योंकि युवक भिन्न-भिन्न भाषाएँ सीखते हैं। यह समस्या की स्थिति के विपरीत है, इसलिए पहला कथन गलत है।

यदि दूसरा कथन सत्य है, तो पहला और तीसरा असत्य होना चाहिए। यह पता चला है कि कोई भी चीनी का अध्ययन नहीं करता है। यह शर्त के विपरीत है, इसलिए दूसरा कथन भी असत्य है।

जवाब:सर्गेई चीनी पढ़ रहा है, मिखाइल जापानी पढ़ रहा है, और वादिम अरबी पढ़ रहा है।

उदाहरण 5रूस, संयुक्त राज्य अमेरिका और चीन के विदेश मंत्रियों ने प्रत्येक देश द्वारा प्रस्तुत पूर्ण निरस्त्रीकरण पर समझौते के मसौदे पर बंद दरवाजों के पीछे चर्चा की। फिर पत्रकारों के सवाल का जवाब देते हुए: "किसका प्रोजेक्ट अपनाया गया?", मंत्रियों ने निम्नलिखित उत्तर दिए:

रूस - "परियोजना हमारी नहीं है, परियोजना यूएसए नहीं है";
यूएसए - "परियोजना रूस नहीं है, परियोजना चीन है";
चीन - "प्रोजेक्ट हमारा नहीं, रूस का प्रोजेक्ट है।"

उनमें से एक (सबसे मुखर) ने दोनों बार सच कहा; दूसरे (सबसे गुप्त) ने दोनों बार झूठ बोला, तीसरे (सतर्क) ने एक बार सच कहा, और दूसरी बार - झूठ।

निर्धारित करें कि मुखर, गुप्त और सतर्क मंत्रियों द्वारा किन देशों का प्रतिनिधित्व किया जाता है।

फेसला।अंकन की सुविधा के लिए, आइए राजनयिकों के कथनों को क्रमांकित करें:

रूस - "परियोजना हमारी नहीं है" (1), "परियोजना यूएसए नहीं है" (2);
यूएसए - "प्रोजेक्ट नॉट रशिया" (3), "प्रोजेक्ट चाइना" (4);
चीन - "परियोजना हमारी नहीं है" (5), "रूस की परियोजना" (6)।

आइए जानें कि कौन से मंत्री सबसे ज्यादा मुखर हैं।

यदि यह एक रूसी मंत्री है, तो यह (1) और (2) की वैधता से चलता है कि चीनी परियोजना जीती है। लेकिन फिर अमेरिकी मंत्री के दोनों बयान भी सही हैं, जो शर्त से नहीं हो सकते।

यदि सबसे मुखर अमेरिकी मंत्री हैं, तो फिर से हम पाते हैं कि चीनी परियोजना जीत गई है, जिसका अर्थ है कि रूसी मंत्री के दोनों कथन भी सत्य हैं, जो कि शर्त से नहीं हो सकते।

यह पता चला है कि चीनी मंत्री सबसे मुखर थे। दरअसल, इस तथ्य से कि (5) और (6) सत्य हैं, यह इस प्रकार है कि रूसी परियोजना जीत गई। और फिर यह पता चलता है कि रूसी मंत्री के दो बयानों में से पहला झूठा है, और दूसरा सच है। अमेरिकी मंत्री के दोनों बयान गलत हैं।

जवाब:चीनी मंत्री अधिक मुखर थे, रूसी मंत्री अधिक सतर्क थे, और अमेरिकी मंत्री अधिक गुप्त थे।

§ 6. तर्क समारोह।

तर्क के बीजगणित में, सरल कथनों को तार्किक चर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, अन्यथा चर के मान केवल 0 और 1 हो सकते हैं। तार्किक संयोजकों को उनके संबंधित गणितीय प्रतीकों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस मामले में, एक जटिल कथन एक तार्किक कार्य में बदल जाता है।

तर्क समारोह F तार्किक चरों के एक सेट से (a , b , c , ...) एक ऐसा फलन है जो केवल दो मान ले सकता है: 0 और 1.

एफ (ए, बी) = ए  बी - तार्किक गुणन (संयोजन)।

एफ (ए, बी) = ए वी बी - तार्किक जोड़ (वियोजन)।

एफ (ए) \u003d  ए - नकार (उलटा)।

एफ (ए, बी) = ए  बी - निहितार्थ।

एफ (ए, बी) = ए  बी - समकक्ष।

तर्क कार्यों की गणना सत्य तालिकाओं का उपयोग करके की जा सकती है।

लॉजिकल फंक्शन की ट्रुथ टेबल लॉजिकल वेरिएबल्स की संख्या पर निर्भर करती है और इसमें वेरिएबल्स के 2n सेट होते हैं।

उदाहरण 1. तार्किक फलन के मान की गणना

एफ (ए , बी ) =  (ए वी बी )  (ए   बी )

हम मध्यवर्ती तार्किक कार्यों को अलग करते हैं और तार्किक चर के संगत सेट के लिए सत्य तालिका भरते हैं।

ए

बी

एक वी बी

 (ए वी बी)

 बी

ए  बी

एफ (ए, बी)

तालिका से पता चलता है कि तार्किक चर के किसी भी सेट के लिए, फ़ंक्शन एफ (ए, बी) समान रूप से शून्य के बराबर है।

उदाहरण 2. चर के दिए गए मानों के लिए तार्किक फ़ंक्शन के मान की गणना।

एफ (ए, बी, सी) = ए वी बी  (ए  सी   बी)।

गणना करें: एफ (1, 0, 1).

फेसला:

एफ (1, 0, 1) = 1 वी 0 (1  1   0)

कोष्ठक में व्यंजक के मान को छोड़ा जा सकता है, क्योंकि फिर 0 का संयोजन और कोष्ठक अभिव्यक्ति निष्पादित की जाती है। तो हमारे पास हैं:

एफ(1, 0, 1) = 1 वी 0 = 1।

जवाब: एफ (1, 0, 1) = 1.

विभिन्न तार्किक कार्यों की तार्किक समानता को सिद्ध करने के लिए सत्य तालिकाओं के निर्माण की विधि का भी उपयोग किया जाता है। इसके अलावा, यदि तार्किक चर के सभी समान सेटों पर फ़ंक्शन के मान समान हैं, तो उन्हें समतुल्य कहा जाता है।

दो बूलियन फ़ंक्शन कहलाते हैं समकक्ष, यदि तार्किक चर के सभी समान सेटों पर फ़ंक्शन के मान समान हैं।

उदाहरण 3. दो तार्किक कार्यों की समानता का प्रमाण।

आइए हम सिद्ध करें कि फलन एफ 1 ( ए , बी ) =  ए वी बी और एफ 2 ( ए , बी ) = ए  बी समकक्ष हैं।

ए

बी

 ए

 एक वी बी

ए  बी

तालिका के अनुसार, हम यह निर्धारित करते हैं कि तार्किक चर के सभी समान सेटों पर, कार्यों के मान समान हैं, इसलिए वे समान हैं।

तर्क के नियमों को लागू करने से आप तार्किक अभिव्यक्तियों में चर की संख्या को कम कर सकते हैं और तार्किक कार्यों को सरल बना सकते हैं।

तर्क के नियम भी लागू होते हैं सत्य तालिकाओं से तार्किक कार्यों के निर्माण के लिए।ऐसा करने में, किसी को निर्देशित किया जाना चाहिए अगला नियम:

एक मान वाली सत्य तालिका की प्रत्येक पंक्ति के लिए, एक मिंटर्म (चरों का संयोजन) का निर्माण करें, जबकि चर एक बार (बिना निषेध या निषेध के) होना चाहिए। यदि सत्य तालिका के चरों में एक पंक्ति में शून्य मान होते हैं, तो वे एक निषेध के साथ मिंटर्म में प्रवेश करते हैं, और एक का मान रखने वाले वेरिएबल बिना किसी निषेध के मिंटर्म में प्रवेश करते हैं।

सभी minterms को एक डिसजंक्शन ऑपरेशन के साथ मिलाएं।

यदि संभव हो तो परिणामी तार्किक सूत्र को सरल कीजिए।

उदाहरण 4. दी गई सत्य तालिका के अनुसार तार्किक फलन बनाना।

ए

बी

सी

एफ (ए, बी, सी)

आइए उन पंक्तियों का चयन करें जहां फ़ंक्शन 1 के बराबर है और उनके लिए minterms बनाएं:

लाइन 1:  ए  बी  सी ;

लाइन 2:  ए  बी  सी .

टकसालों को मिलाएं: एफ ( ए , बी , सी ) =  ए  बी  सी   ए  बी  सी .

आइए तर्क फ़ंक्शन को सरल बनाएं: एफ ( ए , बी , सी ) =  ए  बी  सी   ए  बी  सी = {3} =  ए  बी  (  सी  सी ) = {6} =  ए  बी  1= {7} =  ए  बी = {4} =  ( ए  बी )

तो, हमें एक तार्किक कार्य मिला एफ ( ए , बी , सी ) =  ( ए  बी ).

7. कंप्यूटर की तार्किक नींव। बुनियादी तार्किक तत्व।

कंप्यूटर हार्डवेयर कैसे कार्य करता है, इसका वर्णन करने के लिए तर्क के बीजगणित का गणितीय उपकरण बहुत सुविधाजनक है, क्योंकि कंप्यूटर में मुख्य संख्या प्रणाली द्विआधारी है, जो संख्या 1 और 0 का उपयोग करती है, और तार्किक चर के दो मान भी हैं: " 1" और "0"।

इससे दो निष्कर्ष निकलते हैं:

बाइनरी नंबर सिस्टम और लॉजिकल वेरिएबल्स में प्रस्तुत संख्यात्मक जानकारी दोनों को संसाधित और संग्रहीत करने के लिए समान कंप्यूटर उपकरणों का उपयोग किया जा सकता है;

हार्डवेयर डिजाइन करने के चरण में, तर्क बीजगणित कंप्यूटर सर्किट के संचालन का वर्णन करने वाले तार्किक कार्यों को काफी सरल बनाना संभव बनाता है, और इसके परिणामस्वरूप, प्राथमिक तार्किक तत्वों की संख्या को कम करता है, जिनमें से कंप्यूटर के हजारों मुख्य घटक होते हैं। बना रहे हैं।

डेटा और कमांड को विभिन्न संरचनाओं और लंबाई के बाइनरी अनुक्रमों के रूप में दर्शाया जाता है। बाइनरी जानकारी को एन्कोड करने के कई भौतिक तरीके हैं। कंप्यूटर इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों में बाइनरी वाले को अक्सर बाइनरी शून्य की तुलना में उच्च वोल्टेज स्तर द्वारा एन्कोड किया जाता है।

तर्क तत्वकंप्यूटर इलेक्ट्रॉनिक लॉजिक सर्किट का एक हिस्सा है जो प्राथमिक लॉजिक फ़ंक्शन को लागू करता है।

तार्किक कार्यों के कार्यान्वयन के लिए कंप्यूटर के बुनियादी तार्किक तत्व इलेक्ट्रॉनिक सर्किट हैं और, या, नहीं, और-नहीं, या-नहीं (जिन्हें भी कहा जाता है) वाल्व).

इन योजनाओं का उपयोग करके, आप किसी भी तार्किक कार्य को लागू कर सकते हैं जो कंप्यूटर उपकरणों के संचालन का वर्णन करता है। आमतौर पर, वाल्व में एक से आठ इनपुट और एक या दो आउटपुट होते हैं।

फाटकों में दो तार्किक अवस्थाओं - "1" और "0" का प्रतिनिधित्व करने के लिए, उनके संबंधित इनपुट और आउटपुट सिग्नल में दो सेट वोल्टेज स्तरों में से एक होता है। उदाहरण के लिए, +5 वोल्ट और 0 वोल्ट। एक उच्च स्तर आमतौर पर "सत्य" ("1") मान से मेल खाता है, और निम्न स्तर "गलत" ("0") मान से मेल खाता है।

प्रत्येक तार्किक तत्व का अपना प्रतीक होता है, जो इसके तार्किक कार्य को व्यक्त करता है, लेकिन यह नहीं दर्शाता है कि इसमें कौन सा इलेक्ट्रॉनिक सर्किट लागू किया गया है। इससे जटिल लॉजिक सर्किट को लिखना और समझना आसान हो जाता है। सत्य तालिकाओं का उपयोग करके तर्क तत्वों के संचालन का भी वर्णन किया गया है।

और (संयोजक)

AND सर्किट दो या दो से अधिक बूलियन मानों के संयोजन को लागू करता है।

एक्स

आप

एक्स । आप

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

AND सर्किट के आउटपुट की इकाई तब होगी जब और केवल तभी जब सभी इनपुट पर हों। जब कम से कम एक इनपुट शून्य हो, तो आउटपुट भी शून्य होगा।

इस सर्किट के आउटपुट z और इनपुट x और y के बीच संबंध को संबंध द्वारा वर्णित किया गया है: जेड = एक्स . आप

ब्लॉक आरेखों पर संयोजन के संचालन को संकेत द्वारा दर्शाया जाता है "&" (के रूप में पढ़ें "एम्परसेंड"), जो अंग्रेजी शब्द . का संक्षिप्त रूप है और।

या (विघटनकर्ता)

OR सर्किट दो या दो से अधिक तार्किक मानों के संयोजन को लागू करता है।

एक्स

आप

एक्स  आप

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

जब OR सर्किट का कम से कम एक इनपुट एक होता है, तो इसका आउटपुट भी एक होगा।

आउटपुट के बीच संबंध जेडयह सर्किट और इनपुट एक्सऔर आपअनुपात द्वारा वर्णित है: जेड = एक्स वी वाई

संकेत "1" आरेख पर - विच्छेदन के अप्रचलित संकेतन से ">=1" (अर्थात वियोजन का मान एक के बराबर होता है यदि ऑपरेंड के मानों का योग 1 से अधिक या उसके बराबर हो)।

नहीं (इन्वर्टर)

एक्स

आप

 (एक्स.वाई)

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

योजना और नहींएक तत्व से मिलकर बनता है और और।

आउटपुट के बीच संबंध जेडऔर प्रवेश द्वार एक्सऔर आपस्कीमा निम्नानुसार लिखे गए हैं: जेड = (एक्स . वाई), जहां एक्स . आपकी तरह पढ़ता है "एक्स और वाई को उल्टा करें"।

या-नहीं (पियर्स तत्व)

योजना या नहींएक तत्व से मिलकर बनता है याऔर इन्वर्टर और सर्किट के परिणाम को नकारता है या। सी)

एफ = ए (  बी   सी)  (ए  ईडी) (  ए  बी सी)

एफ = ए बी सी  ए बी सी  एक बी  सी डी

एफ = ए   ए (बी  सी)  (  ए  डी  जी) (बी  घ) (सी   डी  जी एच)

§ 8. कंप्यूटर के तार्किक तत्व। ट्रिगर और योजक।

चालू कर देना- यह एक इलेक्ट्रॉनिक सर्किट है जो व्यापक रूप से एक बाइनरी कोड के एक बिट के विश्वसनीय भंडारण के लिए कंप्यूटर रजिस्टर में उपयोग किया जाता है। ट्रिगर में दो स्थिर अवस्थाएँ होती हैं, जिनमें से एक बाइनरी से मेल खाती है, और दूसरी बाइनरी ज़ीरो से मेल खाती है

अवधि चालू कर देनाअंग्रेजी शब्द से आया है चालू कर देना- कुंडी, ट्रिगर। इस योजना को अंग्रेजी में संदर्भित करने के लिए, इस शब्द का प्रयोग अधिक बार किया जाता है फ्लिप फ्लॉप, जिसका अनुवाद में "ताली बजाना" है। इलेक्ट्रॉनिक सर्किट के लिए यह ओनोमेटोपोइक नाम एक विद्युत राज्य से दूसरे में लगभग तुरंत ("स्थानांतरण") स्विच करने की क्षमता को संदर्भित करता है और इसके विपरीत।

ट्रिगर का सबसे आम प्रकार तथाकथित आरएस ट्रिगर है (एस और आर, क्रमशः, अंग्रेजी से सेट- स्थापना, और रीसेट- रीसेट)।

S0

1

1

0

1

0

0

1

1

1

बिट स्टोरेज

वर्ग

आर  क्यू

आइए फ्लिप-फ्लॉप के आर और एस इनपुट के मूल्यों के संभावित संयोजनों का विश्लेषण इसके सर्किट और एनओआर सर्किट की सत्य तालिका का उपयोग करके करें

यदि S=“1”, R=“0” को ट्रिगर के इनपुट पर लागू किया जाता है, तो (राज्य की परवाह किए बिना) “0” ऊपरी गेट के आउटपुट Q पर दिखाई देगा। उसके बाद, निचले गेट के इनपुट पर R="0", Q="0" और आउटपुट होगा  क्यू"1" बन जाएगा।

उसी तरह, इनपुट एस में "0" और इनपुट आर में "1" लागू करते समय, आउटपुट  क्यू"0" दिखाई देगा, और "1" Q पर दिखाई देगा।

यदि इनपुट R और S पर तार्किक "1" लागू किया जाता है, तो Q और . की स्थिति  क्यूनहीं बदलता।

इनपुट आर और एस दोनों के लिए तार्किक "0" लागू करने से अस्पष्ट परिणाम हो सकते हैं, इसलिए इनपुट संकेतों का यह संयोजन निषिद्ध है।

चूंकि एक ट्रिगर केवल एक बिट बाइनरी कोड को स्टोर कर सकता है, इसलिए एक बाइट को स्टोर करने के लिए 8 ट्रिगर्स की आवश्यकता होती है, और एक किलोबाइट को स्टोर करने के लिए क्रमशः 8 x 2 10 = 8192 ट्रिगर्स की आवश्यकता होती है। आधुनिक मेमोरी चिप्स में लाखों फ्लिप-फ्लॉप होते हैं।

जितना संभव हो सके कंप्यूटर के संचालन को सरल बनाने के लिए, गणितीय संक्रियाओं की पूरी विविधता को बाइनरी संख्याओं के जोड़ तक घटा दिया जाता है।

याद रखें कि द्विआधारी संख्याओं को जोड़ने पर, किसी दिए गए अंक में एक योग बनता है, और उच्चतम अंक में स्थानांतरण भी संभव है।

शर्तें

स्थानांतरण करना

जोड़

ए

बी

पी

एस

0

0

0

0

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

इस तालिका से यह देखा जा सकता है कि स्थानांतरण तार्किक तत्व "AND" का उपयोग करके कार्यान्वित किया जाता है।

योग के लिए, सबसे उपयुक्त तार्किक तत्व "OR" तत्व है। हालाँकि, संख्याओं की चौथी जोड़ी जोड़ते समय, परिणाम 0 होना चाहिए, न कि 1. वांछित परिणाम प्राप्त करने के लिए, आप तार्किक तत्व "NOT" को एक कैरी सिग्नल भेज सकते हैं, और फिर इसके आउटपुट और आउटपुट से "OR" तत्व, "AND" तत्व को एक संकेत भेजें। "AND" तत्व के आउटपुट पर, हमें आवश्यक संकेत प्राप्त होगा।

ए (0.0.1.1) पी (0.0.0.1)

बी(0,1,0,1)

0.0.0.1 1.1.1.0 एस (0.1.1.0)

0,1,1,1

इस योजना को कहा जाता है आधा योजक,क्योंकि कम से कम महत्वपूर्ण बिट से स्थानांतरण को ध्यान में रखे बिना एकल अंकों वाली बाइनरी संख्याओं के योग को लागू करता है।

एडरएक इलेक्ट्रॉनिक लॉजिक सर्किट है जो बाइनरी नंबरों का योग करता है

योजक, सबसे पहले, कंप्यूटर की अंकगणितीय-तार्किक इकाई की केंद्रीय इकाई के रूप में कार्य करता है, लेकिन यह मशीन के अन्य उपकरणों में भी आवेदन पाता है।

एक मैं

बी मैं

अनुकरणीय

पी आई-1

सी मैं

संख्या A और B को एक में जोड़ने पर मैंवें अंक को तीन अंकों से निपटना है:

1. अंक a मैंपहला कार्यकाल;

2. नंबर बी मैंदूसरी अवधि;

3. स्थानांतरण पी मैं-1कनिष्ठ वर्ग से।

जोड़ के परिणामस्वरूप, दो अंक प्राप्त होते हैं: संख्या c मैंराशि के लिए; स्थानांतरण पी मैंइस श्रेणी से वरिष्ठ तक।

इस प्रकार, एक सिंगल बिट बाइनरी योजक तीन इनपुट और दो आउटपुट वाला एक उपकरण है, जिसका संचालन निम्नलिखित सत्य तालिका द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

इनपुट

आउटपुट

पहला कार्यकाल

दूसरी अवधि

स्थानांतरण करना

जोड़

स्थानांतरण करना

एक मैं

बी मैं

पी आई-1

सी मैं

अनुकरणीय

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

यदि दो या दो से अधिक बिट्स की लंबाई के साथ बाइनरी शब्दों को जोड़ना आवश्यक है, तो ऐसे योजकों के सीरियल कनेक्शन का उपयोग किया जा सकता है, और दो आसन्न योजकों के लिए, एक योजक का कैरी आउटपुट दूसरे का इनपुट होता है।

मल्टी-बिट बाइनरी योजक, बहु-अंकीय बाइनरी संख्या जोड़ने के लिए डिज़ाइन किया गया, एकल-अंकीय योजकों का एक संयोजन है.

उदाहरण के लिए, दो द्विआधारी तीन-अंकीय संख्याओं ए = (ए 2 ए 1 ​​ए 0) और बी = (बी 2 बी 1 बी 0) के योग सी = (सी 3 सी 2 सी 1 सी 0) की गणना के लिए सर्किट, जहां c 0 योग का सबसे कम महत्वपूर्ण अंक है, 3 के साथ - योग का सबसे महत्वपूर्ण अंक, ऐसा दिख सकता है:

ए 0 ए 1 ए 2

बी 0 बी 1 बी 2

0 से 3

एस 0 एस 1 एस 2

इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि तार्किक तत्व "ईंटों" का निर्माण कर रहे हैं, जिससे तार्किक सर्किट का निर्माण करके, किसी भी आधुनिक कंप्यूटर का "भवन" बनाया जाता है।

आत्म-नियंत्रण के लिए प्रश्न:

तर्क, गणितीय तर्क, बीजगणित तर्क अध्ययन क्या करता है?

निम्नलिखित अवधारणाओं को परिभाषित करें: कथन, कथन, तर्क, अनुमान, तार्किक अभिव्यक्ति।

बेसिक लॉजिकल कनेक्टिव्स, प्राइमरी और कंपाउंड स्टेटमेंट।

बुनियादी तार्किक संचालनों की सूची बनाएं और उन्हें कैसे लिखें।

तार्किक सूत्र को परिभाषित कीजिए।

निम्नलिखित अवधारणाओं का अर्थ स्पष्ट करें: व्यवहार्य तार्किक सूत्र, तनातनी, विरोधाभास, सूत्र का समतुल्य परिवर्तन।

शेष बुनियादी तार्किक संक्रियाओं के संयोजन के साथ निहितार्थ और तुल्यता को बदलने के लिए सूत्र लिखिए।

एक तार्किक सूत्र की सत्य तालिका की अवधारणा। प्राथमिक सूत्रों की सत्य सारणी।

सूत्र सरलीकरण क्या है?

तर्क के बीजगणित के मूल नियम।

तार्किक समस्याओं को हल करने के मुख्य तरीकों की सूची बनाएं और उनका वर्णन करें।

तार्किक कार्य को परिभाषित करें।

समतुल्य तार्किक कार्यों की अवधारणा।

ट्रुथ टेबल से लॉजिकल फंक्शन बनाने का नियम।

कंप्यूटर के तार्किक तत्व की परिभाषा। बुनियादी तार्किक तत्व।

ट्रिगर और योजक। उपयुक्त ट्रुथ टेबल और लॉजिक सर्किट।