Метод крамера примеры с решением подробно. Метод крамера: решаем системы линейных алгебраических уравнений (слау)

Методы Крамера и Гаусса – одни из самых популярных методов решения СЛАУ . К тому же, в ряде случаев целесообразно использовать именно конкретные методы. Сессия близка, и сейчас самое время повторить или освоить их с нуля. Сегодня разбираемся с решением методом Крамера. Ведь решение системы линейных уравнений методом Крамера - весьма полезный навык.

Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений – система уравнений вида:

Набор значений x , при котором уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы, a и b – вещественные коэффициенты. Простенькую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, можно решить в уме либо выразив одну переменную через другую. Но переменных (иксов) в СЛАУ может быть гораздо больше двух, и здесь простыми школьными манипуляциями не обойтись. Что же делать? Например, решать СЛАУ методом Крамера!

Итак, пусть система состоит из n уравнений с n неизвестными.

Такую систему можно переписать в матричном виде

Здесь A – основная матрица системы, X и B , соответственно, матрицы-столбцы неизвестных переменных и свободных членов.

Решение СЛАУ методом Крамера

Если определитель главной матрицы не равен нулю (матрица невырожденная), систему можно решать по методу Крамера.

Согласно методу Крамера, решение находится по формулам:

Здесь дельта – определитель главной матрицы, а дельта x n-ное – определитель, полученный из определителя главной матрицы путем заменой n-ного столбца на столбец свободных членов.

В этом и заключается вся суть метода Крамера. Подставляя найденные по вышеприведенным формулам значения x в искомую систему, убеждаемся в правильности (или наоборот) нашего решения. Чтобы Вы быстрее уловили суть, приведем ниже пример подробного решения СЛАУ методом Крамера:

Даже если у Вас не получится с первого раза, не расстраивайтесь! Немного практики, и Вы начнете щелкать СЛАУ как орешки. Более того, сейчас совершенно необязательно корпеть над тетрадью, решая громоздкие выкладки и исписывая стержень. Можно легко решить СЛАУ методом Крамера в режиме онлайн, лишь подставив в готовую форму коэффициенты. Испробовать онлайн калькулятор решения методом Крамера можно, к примеру, на этом сайте .

А если система оказалась упорной и не сдается, Вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, чтобы . Будь в системе хоть 100 неизвестных, мы обязательно решим ее верно и точно в срок!

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

.

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
-

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2.

.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы - (2; -1; 1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных - буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример - на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

2. Решение систем уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы).
3. Метод Гаусса решения систем уравнений.

Метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ).

Формулы на примере системы из двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решить методом Крамера систему

Относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы Вычисление определителей. :

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Пример 1:
Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:


Заменим в этом определителе первый столбец столбцом коэффициентов из правой части системы и найдем его значение:

Сделаем аналогичное действие, заменив в первом определителе второй столбец:

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Ответ:
Замечание: Этим методом можно решать системы и большей размерности.

Замечание: Если получается, что , а делить на ноль нельзя, то говорят, что система не имеет единственного решения. В этом случае система имеет или бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Пример 2 (бесконечное количество решений):

Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Решение систем методом подстановки.

Первое из уравнений системы — равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4). Значит, остается только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными .
Получили, решением системы являются любые пары значений переменных, связанных между собой равенством .
Общее решение запишется так:
Частные решения можно определять выбирая произвольное значение у и вычисляя х по этому равенству связи.

и т.д.
Таких решений бесконечно много.
Ответ: общее решение
Частные решения:

Пример 3 (решений нет, система несовместна):

Решить систему уравнений:

Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Применять формулы Крамера нельзя. Решим эту систему методом подстановки

Второе уравнение системы — равенство, неверное ни при каких значениях переменных (конечно же, так как -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не верно ни при каких значениях переменных, то и вся системы не имеет решений.
Ответ: решений нет

Пусть система линейных уравнений содержит столько уравнений, каково количество независимых переменных, т.е. имеет вид

Такие системы линейных уравнений называются квадратными. Определитель, составленный из коэффициентов при независимых переменных системы (1.5), называется главным определителем системы. Мы будем обозначать его греческой буквой D. Таким образом,

. (1.6)

Если в главном определителе произвольный (j -ый) столбец, заменить столбцом свободных членов системы (1.5), то можно получить еще n вспомогательных определителей:

(j = 1, 2, …, n ). (1.7)

Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений заключается в следующем. Если главный определитель D системы (1.5) отличен от нуля, то система имеет и притом единственное решение, которое можно найти по формулам:

(1.8)

Пример 1.5. Методом Крамера решить систему уравнений

.

Вычислим главный определитель системы:

Так как D¹0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам (1.8):

Таким образом,

Действия над матрицами

1. Умножение матрицы на число. Операция умножения матрицы на число определяется следующим образом.

2. Для того чтобы умножить матрицу на число, нужно все ее элементы умножить на это число. То есть

. (1.9)

Пример 1.6. .

Сложение матриц.

Данная операция вводится только для матриц одного и того же порядка.

Для того чтобы сложить две матрицы, необходимо к элементам одной матрицы прибавить соответствующие элементы другой матрицы:

(1.10)
Операция сложения матриц обладает свойствами ассоциативности и коммутативности.

Пример 1.7. .

Умножение матриц.

Если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В , то для таких матриц вводится операция умножения:

2

Таким образом, при умножении матрицы А размерности m ´n на матрицу В размерности n ´k мы получаем матрицу С размерности m ´k . При этом элементы матрицы С вычисляются по следующим формулам:

Задача 1.8. Найти, если это возможно, произведение матриц AB и BA :

Решение. 1) Для того чтобы найти произведение AB , необходимо строки матрицы A умножить на столбцы матрицы B :

2) Произведение BA не существует, т. к. количество столбцов матрицы B не совпадает с количеством строк матрицы A .

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом

Матрица A - 1 называется обратной к квадратной матрице А , если выполнено равенство:

где через I обозначается единичная матрица того же порядка, что и матрица А :

.

Для того чтобы квадратная матрица имела обратную необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Обратную матрицу находят по формуле:

, (1.13)

где A ij - алгебраические дополнения к элементам a ij матрицы А (заметим, что алгебраические дополнения к строкам матрицы А располагаются в обратной матрице в виде соответствующих столбцов).

Пример 1.9. Найти обратную матрицу A - 1 к матрице

.

Обратную матрицу найдем по формуле (1.13), которая для случая n = 3 имеет вид:

.

Найдем det A = | A | = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Так как определитель исходной матрицы отличен от нуля, то обратная матрица существует.

1) Найдем алгебраические дополнения A ij :

Для удобства нахождения обратной матрицы, алгебраические дополнения к строкам исходной матрицы мы расположили в соответствующие столбцы.

Из полученных алгебраических дополнений составим новую матрицу и разделим ее на определитель det A . Таким образом, мы получим обратную матрицу:

Квадратные системы линейных уравнений с отличным от нуля главным определителем можно решать с помощью обратной матрицы. Для этого систему (1.5) записывают в матричном виде:

где

Умножая обе части равенства (1.14) слева на A - 1 , мы получим решение системы:

, откуда

Таким образом, для того чтобы найти решение квадратной системы, нужно найти обратную матрицу к основной матрице системы и умножить ее справа на матрицу-столбец свободных членов.

Задача 1.10. Решить систему линейных уравнений

с помощью обратной матрицы.

Решение. Запишем систему в матричном виде: ,

где - основная матрица системы, - столбец неизвестных и - столбец свободных членов. Так как главный определитель системы , то основная матрица системы А имеет обратную матрицу А -1 . Для нахождения обратной матрицы А -1 , вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А :

Из полученных чисел составим матрицу (причем алгебраические дополнения к строкам матрицы А запишем в соответствующие столбцы) и разделим ее на определитель D. Таким образом, мы нашли обратную матрицу:

Решение системы находим по формуле (1.15):

Таким образом,

Решение систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений

Пусть дана произвольная (не обязательно квадратная) система линейных уравнений:

(1.16)

Требуется найти решение системы, т.е. такой набор переменных , который удовлетворяет всем равенствам системы (1.16). В общем случае система (1.16) может иметь не только одно решение, но и бесчисленное множество решений. Она может так же вообще не иметь решений.

При решении подобных задач используется хорошо известный из школьного курса метод исключения неизвестных, который еще называется методом обыкновенных жордановых исключений. Суть данного метода заключается в том, что в одном из уравнений системы (1.16) одна из переменных выражается через другие переменные. Затем эта переменная подставляется в другие уравнения системы. В результате получается система, содержащая на одно уравнение и на одну переменную меньше, чем исходная система. Уравнение, из которого выражалась переменная, запоминается.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока в системе не останется одно последнее уравнение. В процессе исключения неизвестных некоторые уравнения могут превратиться в верные тождества, например . Такие уравнения из системы исключаются, так как они выполняются при любых значениях переменных и, следовательно, не оказывают влияния на решение системы. Если в процессе исключения неизвестных хотя бы одно уравнение становится равенством, которое не может выполняться ни при каких значениях переменных (например ), то мы делаем вывод, что система не имеет решения.

Если в ходе решения противоречивых уравнений не возникло, то из последнего уравнения находится одна из оставшихся в нем переменных. Если в последнем уравнении осталась только одна переменная, то она выражается числом. Если в последнем уравнении остаются еще и другие переменные, то они считаются параметрами, и выраженная через них переменная будет функцией этих параметров. Затем совершается так называемый «обратный ход». Найденную переменную подставляют в последнее запомненное уравнение и находят вторую переменную. Затем две найденные переменные подставляют в предпоследнее запомненное уравнение и находят третью переменную, и так далее, вплоть до первого запомненного уравнения.

В результате мы получаем решение системы. Данное решение будет являться единственным, если найденные переменные будут числами. Если же первая найденная переменная, а затем и все остальные будут зависеть от параметров, то система будет иметь бесчисленное множество решений (каждому набору параметров соответствует новое решение). Формулы, позволяющие найти решение системы в зависимости от того или иного набора параметров, называются общим решением системы.

Пример 1.11.

x

После запоминания первого уравнения и приведения подобных членов во втором и третьем уравнении мы приходим к системе:

Выразим y из второго уравнения и подставим его в первое уравнение:

Запомним второе уравнение, а из первого найдем z :

Совершая обратный ход, последовательно найдем y и z . Для этого сначала подставим в последнее запомненное уравнение , откуда найдем y :

.

Затем подставим и в первое запомненное уравнение , откуда найдем x :

Задача 1.12. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.17)

Решение. Выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

.

Запомним первое уравнение

В данной системе первое и второе уравнения противоречат друг другу. Действительно, выражая y , получим, что 14 = 17. Данное равенство не выполняется, ни при каких значениях переменных x , y , и z . Следовательно, система (1.17) несовместна, т.е. не имеет решения.

Читателям предлагаем самостоятельно проверить, что главный определитель исходной системы (1.17) равен нулю.

Рассмотрим систему, отличающуюся от системы (1.17) всего лишь одним свободным членом.

Задача 1.13. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.18)

Решение. Как и прежде, выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

.

Запомним первое уравнение и приведем подобные члены во втором и третьем уравнении. Мы приходим к системе:

Выражая y из первого уравнения и подставляя его во второе уравнение , мы получим тождество 14 = 14, которое не влияет на решение системы, и, следовательно, его можно из системы исключить.

В последнем запомненном равенстве переменную z будем считать параметром. Полагаем . Тогда

Подставим y и z в первое запомненное равенство и найдем x :

.

Таким образом, система (1.18) имеет бесчисленное множество решений, причем любое решение можно найти по формулам (1.19), выбирая произвольное значение параметра t :

(1.19)
Так решениями системы, например, являются следующие наборы переменных (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т. д. Формулы (1.19) выражают общее (любое) решение системы (1.18).

В том случае, когда исходная система (1.16) имеет достаточно большое количество уравнений и неизвестных, указанный метод обыкновенных жордановых исключений представляется громоздким. Однако это не так. Достаточно вывести алгоритм пересчета коэффициентов системы при одном шаге в общем виде и оформить решение задачи в виде специальных жордановых таблиц.

Пусть дана система линейных форм (уравнений):

, (1.20)
где x j - независимые (искомые) переменные, a ij - постоянные коэффициенты
(i = 1, 2,…, m ; j = 1, 2,…, n ). Правые части системы y i (i = 1, 2,…, m ) могут быть как переменными (зависимыми), так и константами. Требуется найти решений данной системы методом исключения неизвестных.

Рассмотрим следующую операцию, называемую в дальнейшем «одним шагом обыкновенных жордановых исключений». Из произвольного (r -го) равенства выразим произвольную переменную (x s ) и подставим во все остальные равенства. Разумеется, это возможно только в том случае, когда a rs ¹ 0. Коэффициент a rs называется разрешающим (иногда направляющим или главным) элементом.

Мы получим следующую систему:

. (1.21)

Из s -го равенства системы (1.21) мы впоследствии найдем переменную x s (после того, как будут найдены остальные переменные). S -я строка запоминается и в дальнейшем из системы исключается. Оставшаяся система будет содержать на одно уравнение и на одну независимую переменную меньше, чем исходная система.

Вычислим коэффициенты полученной системы (1.21) через коэффициенты исходной системы (1.20). Начнем с r -го уравнения, которое после выражения переменной x s через остальные переменные будет выглядеть следующим образом:

Таким образом, новые коэффициенты r -го уравнения вычисляются по следующим формулам:

(1.23)
Вычислим теперь новые коэффициенты b ij (i ¹ r ) произвольного уравнения. Для этого подставим выраженную в (1.22) переменную x s в i -е уравнение системы (1.20):

После приведения подобных членов, получим:

(1.24)
Из равенства (1.24) получим формулы, по которым вычисляются остальные коэффициенты системы (1.21) (за исключением r -го уравнения):

(1.25)
Преобразование систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений оформляется в виде таблиц (матриц). Эти таблицы получили название «жордановых».

Так, задаче (1.20) ставится в соответствие следующая жорданова таблица:

Таблица 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	x s	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i =	a i 1	a i 2		a ij		a is		a in
…………………………………………………………………..
y r =	a r 1	a r 2		a rj		a rs		a rn
………………………………………………………………….
y n =	a m 1	a m 2		a mj		a ms		a mn

Жорданова таблица 1.1 содержит левый заглавный столбец, в который записывают правые части системы (1.20) и верхнюю заглавную строку, в которую записывают независимые переменные.

Остальные элементы таблицы образуют основную матрицу коэффициентов системы (1.20). Если умножить матрицу А на матрицу , состоящую из элементов верхней заглавной строки, то получится матрица , состоящая из элементов левого заглавного столбца. То есть, по существу, жорданова таблица это матричная форма записи системы линейных уравнений: . Системе (1.21) при этом соответствует следующая жорданова таблица:

Таблица 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b is		b in
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		b ms		b mn

Разрешающий элемент a rs мы будем выделять жирным шрифтом. Напомним, что для осуществления одного шага жордановых исключений разрешающий элемент должен быть отличен от нуля. Строку таблицы, содержащую разрешающий элемент, называют разрешающей строкой. Столбец, содержащий разрешающий элемент, называют разрешающим столбцом. При переходе от данной таблицы к следующей таблице одна переменная (x s ) из верней заглавной строки таблицы перемещается в левый заглавный столбец и, наоборот, один из свободных членов системы (y r ) из левого заглавного столбца таблицы перемещается в верхнюю заглавную строку.

Опишем алгоритм пересчета коэффициентов при переходе от жордановой таблицы (1.1) к таблице (1.2), вытекающий из формул (1.23) и (1.25).

1. Разрешающий элемент заменяется обратным числом:

2. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент и изменяют знак на противоположный:

3. Остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент:

4. Элементы, не попавшие в разрешающую строку и разрешающий столбец, пересчитываются по формулам:

Последняя формула легко запоминается, если заметить, что элементы, составляющие дробь , находятся на пересечении i -ой и r -ой строк и j -го и s -го столбцов (разрешающей строки, разрешающего столбца и той строки и столбца, на пересечении которых находится пересчитываемый элемент). Точнее, при запоминании формулы можно использовать следующую диаграмму:

-21 -26 -13 -37

Совершая первый шаг жордановых исключений, в качестве разрешающего элемента можно выбрать любой элемент таблицы 1.3, расположенный в столбцах x 1 ,…, x 5 (все указанные элементы не равны нулю). Не следует только выбирать разрешающий элемент в последнем столбце, т.к. требуется находить независимые переменные x 1 ,…, x 5 . Выбираем, например, коэффициент 1 при переменной x 3 в третьей строке таблицы 1.3 (разрешающий элемент показан жирным шрифтом). При переходе к таблице 1.4 переменная x 3 из верхней заглавной строки меняется местами с константой 0 левого заглавного столбца (третья строка). При этом переменная x 3 выражается через остальные переменные.

Строку x 3 (табл.1.4) можно, предварительно запомнив, исключить из таблицы 1.4. Из таблицы 1.4 исключается так же третий столбец с нулем в верхней заглавной строке. Дело в том, что независимо от коэффициентов данного столбца b i 3 все соответствующие ему слагаемые каждого уравнения 0·b i 3 системы будут равны нулю. Поэтому указанные коэффициенты можно не вычислять. Исключив одну переменную x 3 и запомнив одно из уравнений, мы приходим к системе, соответствующей таблице 1.4 (с вычеркнутой строкой x 3). Выбирая в таблице 1.4 в качестве разрешающего элемента b 14 = -5, переходим к таблице 1.5. В таблице 1.5 запоминаем первую строку и исключаем ее из таблицы вместе с четвертым столбцом (с нулем наверху).

Таблица 1.5 Таблица 1.6

Из последней таблицы 1.7 находим: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Последовательно подставляя уже найденные переменные в запомненные строки, находим остальные переменные:

Таким образом, система имеет бесчисленное множество решений. Переменной x 5 , можно придавать произвольные значения. Данная переменная выступает в роли параметра x 5 = t. Мы доказали совместность системы и нашли ее общее решение:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Придавая параметру t различные значения, мы получим бесчисленное множество решений исходной системы. Так, например, решением системы является следующий набор переменных (- 3; - 1; - 2; 4; 0).